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交錯排列

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交錯排列是元素 c_1, ..., c_n 的一種排列，使得沒有元素 c_i 的大小介於 c_(i-1) 和 c_(i+1) 之間，這被稱為交錯（或鋸齒形）排列。確定前 n 個 整數 {1,2,...,n} 的集合的交錯排列的數量被稱為 安德烈問題。

對於 n=1, 2, ...，整數 1 到 n 的交錯排列的數量 Z_n 為 1, 2, 4, 10, 32, 122, 544, ... (OEIS A001250)。例如，對於小的 n，n 個整數的交錯排列總結在下表中。

nZ_n交錯排列
11{1}
22{1,2}, {2,1}
34{1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2}
410{1,3,2,4}, {1,4,2,3}, {2,1,4,3}, {2,3,1,4}, {2,4,1,3},
{3,1,4,2}, {3,2,4,1}, {3,4,1,2}, {4,1,3,2}, {4,2,3,1}

對於 n>1，每個交錯排列 Z_n 可以正向或反向書寫，因此必須是偶數 A_n=Z_n/2。量 A_n 可以透過 遞推方程 簡單計算得出

2na_n=suma_ra_s,
(1)

其中 r 和 s 遍歷所有 整數，使得

r+s=n-1,
(2)

a_0=a_1=1，並且

A_n=n!a_n.
(3)

數字 A_n 有時被稱為 尤拉曲折數，前幾個數字由 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, ... 給出 (OEIS A000111)。

偶數編號的 A_ns 被稱為 尤拉數 |E_(2n)|，正割數 S_n 或 鋸齒數 (1, 1, 5, 61, 1385, ...; OEIS A000364)，而 奇數編號的有時被稱為 正切數 T_n 或 曲折數 (1, 2, 16, 272, 7936, ...; OEIS A000182)。

有趣的是，正割和 正切 麥克勞林級數 可以用 A_ns 表示為

secx=A_0+A_2(x^2)/(2!)+A_4(x^4)/(4!)+...
(4)
tanx=A_1x+A_3(x^3)/(3!)+A_5(x^5)/(5!)+...,
(5)

或將它們組合起來，

secx+tanx=A_0+A_1x+A_2(x^2)/(2!)+A_3(x^3)/(3!)+A_4(x^4)/(4!)+A_5(x^5)/(5!)+....
(6)

參見

Entringer 數, 尤拉數, 尤拉曲折數, 正割數, Seidel-Entringer-Arnold 三角形, 正切數

使用 探索

參考文獻

André, D. "Developments de secx et tanx." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 88, 965-967, 1879.André, D. "Memoire sur les permutations alternées." J. Math. 7, 167-184, 1881.Arnold, V. I. "Bernoulli-Euler Updown Numbers Associated with Function Singularities, Their Combinatorics and Arithmetics." Duke Math. J. 63, 537-555, 1991.Arnold, V. I. "Snake Calculus and Combinatorics of Bernoulli, Euler, and Springer Numbers for Coxeter Groups." Russian Math. Surveys 47, 3-45, 1992.Bauslaugh, B. and Ruskey, F. "Generating Alternating Permutations Lexicographically." BIT 30, 17-26, 1990.Conway, J. H. and Guy, R. K. In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 110-111, 1996.Dörrie, H. "André's Derivation of the Secant and Tangent Series." §16 in 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover, pp. 64-69, 1965.Honsberger, R. Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 69-75, 1985.Knuth, D. E. and Buckholtz, T. J. "Computation of Tangent, Euler, and Bernoulli Numbers." Math. Comput. 21, 663-688, 1967.Millar, J.; Sloane, N. J. A.; and Young, N. E. "A New Operation on Sequences: The Boustrophedon Transform." J. Combin. Th. Ser. A 76, 44-54, 1996.Ruskey, F. "Information of Alternating Permutations." http://www.theory.csc.uvic.ca/~cos/inf/perm/Alternating.html.Sloane, N. J. A. Sequences A000111/M1492, A000182/M2096, A000364/M4019, and A001250/M1235 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 上引用

交錯排列

請引用為

Weisstein, Eric W. "交錯排列。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/AlternatingPermutation.html

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