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雙曲正割

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雙曲正割定義為

sechz=1/(coshz)
(1)
=2/(e^z+e^(-z)),
(2)

其中 coshz 是雙曲餘弦。它在 Wolfram 語言 中被實現為Sech[z]。

在實數線上，它在 x=0 處有最大值，拐點在 x=+/-cosh^(-1)(sqrt(2))=0.8813735... (OEIS A091648)。它在 x=0.76500995... 處有一個不動點 (OEIS A069814)。

導數由下式給出

d/(dz)sechz=-sechztanhz,
(3)

其中 tanhz 是雙曲正切，不定積分由下式給出

intsechzdz=2tan^(-1)[tanh(1/2z)]+C,
(4)

其中 C 是積分常數。

sechz 具有泰勒級數

sechz=sum_(n=0)^(infty)(E_(2n))/((2n)!)z^(2n)
(5)
=1-1/2z^2+5/(24)z^4-(61)/(720)z^6+(277)/(8064)z^8-...
(6)

(OEIS A046976 和 A046977)，其中 E_n 是尤拉數，n! 是階乘。

在拉馬努金 cos/cosh 恆等式中，將 theta^0, theta^4, 和 theta^8 的係數相等

[1+2sum_(n=1)^infty(cos(ntheta))/(cosh(npi))]^(-2)+[1+2sum_(n=1)^infty(cosh(ntheta))/(cosh(npi))]^(-2)=(2Gamma^4(3/4))/pi
(7)

給出驚人的恆等式

sum_(n=1)^inftysech(pin)=1/2{(sqrt(pi))/([Gamma(3/4)]^2)-1} sum_(n=1)^inftyn^4sech(pin)=(18[Gamma(3/4)]^2)/(sqrt(pi))[sum_(n=1)^inftyn^2sech(pin)]^2 sum_(n=1)^inftyn^8sech(pin)=(168[Gamma(3/4)]^2)/(sqrt(pi))[sum_(n=1)^inftyn^2sech(pin)]×sum_(n=1)^inftyn^6sech(pin)-(63000[Gamma(3/4)]^6)/(pi^(3/2))[sum_(n=1)^inftyn^2sech(pin)]^4.
(8)

另請參閱

Benson 公式, 懸鏈線, 懸鏈面, 尤拉數, 高斯函式, 雙曲餘弦, 雙曲函式, 反雙曲正割, 洛倫茲函式, 扁球面座標, 偽球面, 正割, 旋轉曲面, 曳物線, 阿涅西的女巫曲線

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Hyperbolic Functions." §4.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 83-86, 1972.Jeffrey, A. "Hyperbolic Identities." §2.5 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 117-122, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A046976, A046977, A069814, and A091648 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Hyperbolic Secant sech(x) and Cosecant csch(x) Functions." Ch. 29 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 273-278, 1987.Zwillinger, D. (Ed.). "Hyperbolic Functions." §6.7 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 476-481 1995.

在 上被引用

雙曲正割

請引用為

Weisstein, Eric W. “雙曲正割。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HyperbolicSecant.html

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