偽球面 -- 來自 - 數學天地

偽球面

偽球面是由曳物線繞其漸近線旋轉生成的常負高斯曲率旋轉曲面。它有時也被稱為曳物面，曳物線面，反球面或曳物線體（Steinhaus 1999，p. 251）。笛卡爾引數方程為

對於和。

它可以寫成隱式笛卡爾形式：

(4)

其他引數化表示包括

對於和 (Gray et al. 2006, p. 480) 和

對於和，其中

		${e^v for v<0; e^(-v) for v>=0$	(11)
		${sqrt(1-e^(2v))-tanh^(-1)(sqrt(1-e^(2v))) for v<0; ln(e^v+sqrt(e^(2v)-1))-e^(-v)sqrt(e^(2v)-1) for v>=0$	(12)

(Gray et al. 2006, p. 477)。

在第一個引數化中，第一基本形式的係數是

(19)

(20)

這與通常的球面完全相同。

即使偽球面具有無限的範圍，它也具有有限的體積。體積可以透過變數替換找到，得到，並代入旋轉體的方程，得到

(21)

這正好是通常球面的一半。

			(22)
			(23)

因此，偽球面具有與球面相同的體積，同時具有恆定的負高斯曲率（而不是球面的恆定正曲率），這導致了名稱“偽球面”。偽球面的恆定負曲率也使其成為雙曲幾何的區域性部分模型，正如圓錐或圓柱體是平面歐幾里得幾何的區域性部分模型一樣。

偽球面上測地線的方程由下式給出

(24)

偽球面