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旋轉體

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SolidOfRevolutionCylinders

旋轉體是透過將一維曲線、直線等繞軸旋轉獲得的旋轉曲面所包圍的實體。透過與底面傾斜的平面切割獲得的旋轉體的一部分稱為楔形體。

為了透過累加一系列薄圓柱殼來找到旋轉體的體積，考慮一個區域，該區域上方由 z=f(x) 邊界，下方由 z=g(x) 邊界，左側由直線 x=a 邊界，右側由直線 x=b 邊界。當該區域繞 z 軸旋轉時，得到的體積由下式給出

V=2piint_a^bx[f(x)-g(x)]dx.

下表給出了使用圓柱法計算的各種旋轉體的體積。

實體f(x)g(x)體積
圓錐h(1-x/r)01/3pihr^2
圓錐臺{h for x<R_2; h(1-(x-R_2)/(R_1-R_2)) otherwise01/3pih(R_1^2+R_1R_2+R_2^2)
圓柱h0pihr^2
扁球面csqrt(1-(x^2)/(a^2))-csqrt(1-(x^2)/(a^2))4/3pia^2c
長球面csqrt(1-(x^2)/(a^2))-csqrt(1-(x^2)/(a^2))4/3pia^2c
球體sqrt(r^2-x^2)-sqrt(r^2-x^2)4/3pir^3
圓環體sqrt(a^2-(x-c)^2)-sqrt(a^2-(x-c)^2)2pi^2a^2c
球缺{h+d for x<b; sqrt(R^2-x^2) otherwised1/6pih(3a^2+3b^2+h^2)
球冠環面{sqrt(R^2-x^2)-(R-h) for x<c[1+(R/a-1)^(-1)]; sqrt(a^2-(x-c)^2) otherwise0pi/6[3a^2cpi+4R^3-2sqrt((a-c-R)(a+c-R))(2a^2+c^2+2aR+2R^2)+6a^2csin^(-1)(c/(a-R))]
SolidOfRevolutionDisks

為了透過累加一系列薄平墊圈來找到旋轉體的體積，考慮一個區域，該區域左側由 x=f(z) 邊界，右側由 x=g(z) 邊界，底部由直線 z=a 邊界，頂部由直線 z=b 邊界。當該區域繞 z 軸旋轉時，得到的體積是

V=piint_a^b{[f(x)]^2-[g(x)]^2}dx.

下表給出了使用墊圈法計算的各種旋轉體的體積。

實體f(x)g(x)體積
桶形 (橢圓形的)sqrt(r_2^2+((r_1-r_2)(r_1+r_2)(h-2z)^2)/(h^2))01/3hpi(r_1^2+2r_2^2)
桶形 (拋物線形的)r_2+((r_1-r_2)(h-2z)^2)/(h^2)01/(15)hpi(3r_1^2+4r_1r_2+8r_2^2)
圓錐r(1-z/h)01/3pihr^2
圓錐臺R_1+(R_2-R_1)z/h01/3pih(R_1^2+R_1R_2+R_2^2)
圓柱r0pir^2h
扁球面asqrt(1-(z^2)/(c^2))04/3pia^2c
長球面asqrt(1-(z^2)/(c^2))04/3pia^2c
球體sqrt(r^2-z^2)04/3pir^3
圓環體c+sqrt(a^2-z^2)c-sqrt(a^2-z^2)2pi^2a^2c
球缺sqrt(R^2-z^2)01/6pih(3a^2+3b^2+h^2)
球冠環面{c+sqrt(a^2-z^2) for z<a(R-h)/(R-a); sqrt(R^2-[z+(R-h)]^2) otherwise0pi/3[2hR^2-(2a^2+c^2+2aR)(R-h)+3a^2csin^(-1)((R-h)/(R-a))]

另請參閱

圓盤法, 柱殼法, 墊圈法, 旋轉曲面, 楔形體, 體積

使用 探索

參考文獻

Harris, J. W. 和 Stocker, H. "旋轉體。" §4.10 在 數學與計算科學手冊。 New York: Springer-Verlag, pp. 111-113, 1998.

在 中被引用

旋轉體

請引用為

Weisstein, Eric W. "旋轉體。" 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/SolidofRevolution.html

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