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圓錐臺


ConicalFrustumGraphic
Frustum

圓錐臺是透過切割圓錐頂部(切割面平行於底面)而形成的錐臺。對於直圓,令 s斜高R_1R_2 為底面和頂面半徑。那麼

 s=sqrt((R_1-R_2)^2+h^2).
(1)

表面積(不包括頂部和底部)為

A=pi(R_1+R_2)s
(2)
=pi(R_1+R_2)sqrt((R_1-R_2)^2+h^2).
(3)

錐臺的體積由下式給出

 V=piint_0^h[r(z)]^2dz.
(4)

但是

 r(z)=R_1+(R_2-R_1)z/h,
(5)

所以

V=piint_0^h[r(z)]^2dz
(6)
=piint_0^h[R_1+(R_2-R_1)z/h]^2dz
(7)
=1/3pih(R_1^2+R_1R_2+R_2^2).
(8)

這個公式可以推廣到任何稜錐,令 A_i 為錐臺頂部和底部的底面積。那麼體積可以寫成

 V=1/3h(A_1+A_2+sqrt(A_1A_2)).
(9)

z 在錐臺上的面積加權積分是

<z>=piint_0^hz[r(z)]^2dz
(10)
=1/(12)pih^2(R_1^2+2R_1R_2+3R_2^2),
(11)

所以幾何質心位於 z上,高度為

z^_=(<z>)/V
(12)
=(h(R_1^2+2R_1R_2+3R_2^2))/(4(R_1^2+R_1R_2+R_2^2))
(13)

(Eshbach 1975, p. 453; Beyer 1987, p. 133; Harris and Stocker 1998, p. 105)。圓的特殊情況透過取 R_2=0 得到 z^_=h/4


另請參閱

圓錐, 錐臺, 稜錐臺, 球冠

使用 探索

參考

Beyer, W. H. (Ed.). CRC 標準數學表,第 28 版 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 129-130 和 133, 1987.Eshbach, O. W. 工程基礎手冊。 New York: Wiley, 1975.Harris, J. W. 和 Stocker, H. "Frustum of a Right Circular Cone." §4.7.2 in 數學與計算科學手冊。 New York: Springer-Verlag, p. 105, 1998.Kern, W. F. 和 Bland, J. R. "Frustum of Right Circular Cone." §29 in 帶證明的立體測量學,第 2 版。 New York: Wiley, pp. 71-75, 1948.

引用為

Weisstein, Eric W. "Conical Frustum." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/ConicalFrustum.html

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