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球缺

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SphericalSegment

球缺是透過一對球體的平行平面切割所定義的立體。它可以被認為是頂部被截斷的球冠，因此它對應於球檯。球缺的表面（不包括底面）稱為球帶。然而，Harris 和 Stocker (1998) 使用術語“球缺”作為球冠的同義詞，而用“球帶”來表示這裡所說的球缺。

將球體的半徑稱為 R，球缺的高度（從平面到球體頂部的距離）稱為 h。令下底面和上底面的半徑分別表示為 a 和 b。將從中心到球缺起點的距離稱為 d，從球缺底部到頂部的距離稱為 h。將平行於球缺的半徑稱為 r，中心上方的距離稱為 y。那麼 r^2=R^2-y^2,

V=int_d^(d+h)pir^2dy
(1)
=piint_d^(d+h)(R^2-y^2)dy
(2)
=pi[R^2y-1/3y^3]_d^(d+h)
(3)
=pi{R^2h-1/3[(d+h)^3-d^3]}
(4)
=pi[R^2h-1/3(d^3+3d^2h+3h^2d+h^3-d^3)]
(5)
=pih(R^2-d^2-hd-1/3h^2).
(6)

各種量之間的關係包括

a=sqrt(R^2-d^2)
(7)
b=sqrt(R^2-(d+h)^2)
(8)
=sqrt(R^2-d^2-2dh-h^2)
(9)
d=(a^2-b^2-h^2)/(2h)
(10)
R=sqrt(([(a-b)^2+h^2][(a+b)^2+h^2])/(4h^2)).
(11)

代入得到

V=pih[1/2(a^2+b^2+h^2)-1/3h^2]
(12)
=pih(1/2a^2+1/2b^2+1/6h^2)
(13)
=1/6pih(3a^2+3b^2+h^2).
(14)

球帶的表面積（不包括頂部和底部底面）由下式給出

S=2piRh.
(15)

另請參閱

阿基米德帽子盒定理, 阿基米德問題, 球檯, 半球, 球體, 球冠, 球扇形, 球楔, 旋轉曲面, 球帶

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 130, 1987.Harris, J. W. and Stocker, H. "Spherical Zone (Spherical Layer)." §4.8.5 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, pp. 107-108, 1998.Kern, W. F. and Bland, J. R. "Spherical Segment." §36 in Solid Mensuration with Proofs, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 97-102, 1948.Smith, D. E. "Spherical Segment." §541 in Essentials of Plane and Solid Geometry. Boston, MA: Ginn and Co., p. 542, 1923.

在 上被引用

球缺

引用為

Weisstein, Eric W. “球缺。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/SphericalSegment.html

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