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球冠

SphericalCap

球冠是球體位於給定平面上方（或下方）的區域。如果平面穿過球體的中心，則該冠稱為半球，如果該冠被第二個平面切割，則球檯稱為球段。但是，Harris 和 Stocker (1998) 使用術語“球段”作為此處稱為球冠的同義詞，而“帶”用於球段。

設球體的半徑為 R，那麼高度為 h 和底面半徑為 a 的球冠的體積由球段的公式給出

V_(spherical segment)=1/6pih(3a^2+3b^2+h^2)
(1)

其中 b=0，給出

V_(cap)=1/6pih(3a^2+h^2).
(2)

使用勾股定理得出

(R-h)^2+a^2=R^2,
(3)

可以解出 a^2 為

a^2=2Rh-h^2,
(4)

所以底圓的半徑為

a=sqrt(h(2R-h)),
(5)

代入後得到等效公式

V_(cap)=1/3pih^2(3R-h).
(6)

用所謂的接觸角（球冠底部球體法線與底面之間的角度）表示

R-h=Rsinalpha
(7)
alpha=sin^(-1)((R-h)/R),
(8)

所以

V_(cap)=1/3piR^3(2-3sinalpha+sin^3alpha).
(9)

幾何質心位於距離

z^_=(3(2R-h)^2)/(4(3R-h))
(10)

球體中心上方 (Harris 和 Stocker 1998, p. 107)。

冠高 h 在該高度下，球冠的體積等於半個半球的體積，由下式給出

h_(1/2)=1-2cos(4/9pi).
(11)

考慮一個包圍球冠的圓柱形盒子，使盒子的頂部與球體的頂部相切。那麼，包圍盒子的體積為

V_(box)=pia^2h
(12)
=pi(Rcosalpha)^2[R(1-sinalpha)]
(13)
=piR^3(1-sinalpha-sin^2alpha+sin^3alpha),
(14)

因此，球冠和盒子之間的空心體積由下式給出

V_(box)-V_(cap)=1/3piR^3(1-3sin^2alpha+2sin^3alpha).
(15)

球冠的表面積由與一般帶相同的公式給出

S_(cap)=2piRh
(16)
=pi(a^2+h^2).
(17)

另請參閱

接觸角, 錐臺, 半球, 旋轉體, 球體, 球環, 球段, 球楔, 旋轉曲面, 球冠穹頂, 帶

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參考文獻

Harris, J. W. 和 Stocker, H. “球段（球冠）。” §4.8.4 in 數學與計算科學手冊。 紐約：Springer-Verlag, p. 107, 1998.Kern, W. F. 和 Bland, J. R. “球段。” §36 in 帶證明的立體測量》，第二版。 紐約：Wiley, pp. 97-102, 1948.

請引用本文為

Weisstein, Eric W. “球冠。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/SphericalCap.html

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