球環

球環是一個球體，帶有一個圓柱形孔，切割方式使得圓柱體和球體的中心重合，也稱為餐巾環。設球體的半徑為 ，圓柱體的半徑為 。

從右圖可以看出，球環的表面積等於一個半高的圓柱體的兩倍，其中半高為

(1)

半徑為 ，加上半徑為 ，高度為 的球帶的兩倍，得到：

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注意，如上圖所示，切出的孔由一個圓柱形部分加上兩個球冠組成。整個圓柱體的體積為：

(4)

上部段的體積為：

(5)

然後，鑽一個圓柱形孔所移除的體積為：

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其中，表示式

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從三角學獲得，已被用於重新表達結果。

球環本身的體積由下式給出：

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透過最後一個方程，僅給定孔的長度即可計算出任何中心鑽孔球體的剩餘體積。特別地，如果球體變大而 保持恆定，則環的周長變大，體積增加，但環變窄，體積減小。這兩種效應完全相互抵消，這導致 Gardner（1959，第 113-121 頁）稱此為一個“不可思議的問題”。

也可以透過檢視垂直於軸線的橫截面來更輕鬆地找到體積。然後發現橫截面的面積不依賴於 ，從而得出上述結果。

球環的質心在原點，均方（球面）半徑為：

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關於原點的慣性矩由下式給出：

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