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長球面

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ProlateSpheroid

長球面是一種球狀體，它是“尖的”而不是“扁平的”，即極半徑 c 大於赤道半徑 a，所以 c>a (Tietze 1965 年第 27 頁稱之為“紡錘形橢球體”)。對稱的雞蛋（即兩端形狀相同）近似於長球面。長球面是透過繞橢圓的長軸旋轉而獲得的旋轉曲面 (Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999 年，第 10 頁)，並具有笛卡爾方程

(x^2+y^2)/(a^2)+(z^2)/(c^2)=1.
(1)

長球面的表面積可以計算為繞 z 軸的旋轉曲面，

S=2piintr(z)sqrt(1+[r^'(z)]^2)dz
(2)

半徑是 z 的函式，由下式給出

r(z)=asqrt(1-(z/c)^2).
(3)

被積函式然後是

rsqrt(1+r^('2))=asqrt(1+((a-c)(a+c)z^2)/(c^4)),
(4)

積分由下式給出

S=2piaint_(-c)^csqrt(1+((a-c)(a+c)z^2)/(c^4))dz
(5)
=2pia^2+(2piac^2)/(sqrt(c^2-a^2))sin^(-1)((sqrt(c^2-a^2))/c).
(6)

使用恆等式

e^2=(c^2-a^2)/(c^2)
(7)

(其中分子的符號與扁球面的離心率的定義相反) 然後給出

S=2pia^2+2pi(ac)/esin^(-1)e
(8)

(Beyer 1987 年，第 131 頁)。請注意，這是書寫長球面表面積的傳統形式，儘管它在形式上等同於透過恆等式書寫扁球面的傳統形式

(c^2pi)/(e(a,c))ln[(1+e(a,c))/(1-e(a,c))]=(2piac)/(e(c,a))sin^(-1)[e(c,a)],
(9)

其中 e(x,y) 由下式定義

e(x,y)=sqrt(1-(x^2)/(y^2)).
(10)

另請參閱

膠囊體, Darwin-de Sitter 球狀體, 橢球體, 檸檬曲面, 扁球面, 長球面座標, 球體, 球狀體, 超卵形體, 超橢圓

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. CRC 標準數學表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1987.Hilbert, D. 和 Cohn-Vossen, S. 幾何與想象。 New York: Chelsea, p. 10, 1999.Tietze, H. 數學名題：從古代到現代的已解和未解數學問題。 New York: Graylock Press, p. 27, 1965.Wrinch, D. M. "倒長球面。" Philos. Mag. 280, 1061-1070, 1932.

參考

長球面

請引用為

Weisstein, Eric W. "長球面。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ProlateSpheroid.html

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