超橢圓

超橢圓是具有笛卡爾方程的曲線

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最早由拉梅於 1818 年討論。超橢圓可以用引數方程描述為

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有時會限制 。

推廣到三維曲面被稱為超橢球體。

a=b 的超橢圓也稱為拉梅曲線或拉梅卵形線，而 a=b 且 r=4 的情況有時被稱為方形圓。 類似地，a!=b 且 r=4 的超橢圓可能被稱為矩形橢圓。

上面顯示了一系列超橢圓，並在上方右側說明了特殊情況 、1 和 2。下表總結了一些特殊情況。皮特·海恩在他的多個專案中使用了 r=5/2 和許多不同的 a/b 比率。例如，他在瑞典斯德哥爾摩的 Sergels Torg（塞爾格爾廣場）（Vestergaard）中使用了 a/b=6/5，在他的桌子中使用了 a/b=3/2。

	曲線
	（壓縮的）星形線
1	（壓縮的）菱形
2	橢圓
	皮特·海恩的“超橢圓”
4	矩形橢圓

如果 r 是有理數，則超橢圓是代數的。但是，對於無理數 r，它是超越的。對於偶數 整數 r=n，隨著 n 的增加，曲線變得更接近矩形。

超橢圓的面積由下式給出

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上面的圖示顯示了由函式給出的超橢圓的推廣

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對於 p=1, ..., 4 和 q=1, ..., 4。

Gielis (2003) 考慮了超橢圓在極座標中給出的進一步推廣，由下式給出

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在這裡，引數 m 的引入和極座標的使用產生了具有 m 倍旋轉對稱性的曲線。上面說明了不同引數的許多曲線，以及曲線類似於的生物名稱。雖然上面的方程，被 Gielis (2003) 稱為“超公式”，顯然能夠描述許多具有各種對稱性的不同生物形狀，但似乎不太可能該公式具有任何特別基本的生物學意義（Peterson 2002，Whitfield 2003），除了作為一種可能方便的引數化。事實上，雖然“超公式”中的自由引數數量為六個，但 Gielis (2003) 也將其用作前因子，用於乘以其他極座標曲線（例如，對數螺線、玫瑰線曲線等），因此方程中的引數數量實際上更大。當然，任何具有大量自由引數的公式都能夠描述非常大的引數空間。（為了強調這個事實，有時幽默地說，給定八個左右的自由引數，就可以描述一頭大象。）

上面說明了由“超公式”生成的曲線族，其中 a=b=1 且 n 從 0 到 2 變化，以及 n=n_1=n_2=n_3 從 1 到 8 變化的值。