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Goursat 曲面

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GoursatsCube
GoursatsSurface

由下式定義的一般四次曲面

x^4+y^4+z^4+a(x^2+y^2+z^2)^2+b(x^2+y^2+z^2)+c=0
(1)

(Gray 1997, 第 314 頁)。 上面兩幅影像分別對應於 (a,b,c)=(0,0,-1), 和 (0,-2,-1), 分別地。

Goursat's surface

上面展示了其他情況。

對應於 (a,b,c)=(0,-2,-1) 的“圓角立方體”情況是體積為 超橢球體

V(0,-2,-1)=(Gamma^4(1/4))/(6sqrt(2)pi),
(2)

其中 Gamma(z) 是 伽瑪函式。

情況 (a,b,c)=(0,-1,1/2) 的體積由下式給出

V(0,-1,1/2)=4sqrt(2)int_0^1int_(sqrt(1/2-xsqrt(1-x^2)))^(sqrt(1/2+xsqrt(1-x^2)))f(x,y)dydx
(3)
=int_0^infty-(pi^2)/(16sqrt(2))R{((-1)^(5/8))/(t^(7/4))[(-1)^(1/4)e^(it/8)t^(3/4)×[(-1)^(3/4)J_(1/4)(t/8)-J_(-1/4)(t/8)]^3+(12sqrt(t)Gamma(1/4))/(pi^2)+(2(1+i)Gamma^3(1/4))/(pi^3)]}dt
(4)

其中

f(x,y)=sqrt(1+sqrt(4(x^2-x^4+y^2-y^4)-1))-sqrt(1-sqrt(4x^2(1-x^2)-(1-2y^2)^2)),
(5)

R[z] 是 z 的實部，而 J_nu(z) 是第一類貝塞爾函式 (E. W. Weisstein 和 M. Trott，私人通訊，2008 年 11 月 9 日)，這可能可以用二元超幾何函式以閉合形式表示。

相關的曲面

x^n+y^n+z^n=1
(6)

對於 n>=2 的偶數整數，Gray（1997，第 292 頁）也考慮了這種情況，它是超橢球體的一個特例。

另請參閱

Chmutov 曲面, 立方體, 超橢球體, 齒狀曲面

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參考文獻

Banchoff, T. F. "Computer Graphics Tools for Rendering Algebraic Surfaces and for Geometry of Order." In Geometric Analysis and Computer Graphics: Proceedings of a Workshop Held May 23-25, 1988 (Eds. P. Concus, R. Finn, D. A. Hoffman). New York: Springer-Verlag, pp. 31-37, 1991.Goursat, E. "Étude des surfaces qui admettent tous les plans de symétrie d'un polyèdre régulier." Ann. Sci. École Norm. Sup. 4, 159-2000, 1897.Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 292 and 314, 1997.

請引用為

Weisstein, Eric W. “Goursat 曲面。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/GoursatsSurface.html

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