立方體

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立方體，如上圖所示，以及線框版本和一個可用於其構造的網格，是由六個正方形面組成的柏拉圖立體，這些面以直角相交，並且有八個頂點和 12 條邊。它也是 Maeder 指數為 6 (Maeder 1997)、Wenninger 指數為 3 (Wenninger 1989)、Coxeter 指數為 18 (Coxeter et al. 1954) 和 Har'El 指數為 11 (Har'El 1993) 的均勻多面體。它由施萊夫利符號 和 Wythoff 符號 描述。

上面展示了立方體的三個對稱投影。

立方體是唯一的正凸六面體。拓撲上不同的五角楔形體是唯一另一個與立方體共享相同數量的頂點、邊和麵的凸六面體（當然面形狀不同；五角楔形體由三角形、2 個四邊形和 2 個五邊形組成）。

立方體在 Wolfram 語言中實現為立方體[] 或UniformPolyhedron["Cube"]。預計算屬性可作為PolyhedronData["Cube", prop]。

立方體是空間填充多面體，因此 Dehn 不變數為 0。

它是內十二面體和星狀八面體的凸包。

立方體總共有 11 種不同的網格（Turney 1984-85，Buekenhout 和 Parker 1998，Malkevitch），如上圖所示，與八面體的數量相同。可以使用波利亞計數定理來解決立方體的多面體著色問題。

邊長為單位長度的立方體稱為單位立方體。

邊長為 的立方體的表面積和體積是

			(1)
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由於邊長為 的立方體的體積由 給出，因此形式為 的數字稱為立方數（或有時簡稱為“立方體”）。類似地，將一個數取三次方冪的運算稱為立方。

單位立方體的內半徑、中半徑和外半徑分別為

			(3)
			(4)
			(5)

立方體的二面角為

(6)

用立方體的內半徑 表示，其表面積 和體積 由下式給出

			(7)
			(8)

因此，體積、內半徑和表面積之間的關係為

(9)

其中 是調和引數 (Dorff and Hall 2003, Fjelstad and Ginchev 2003)。

上圖展示了一個用單張紙構造的摺紙立方體 (Kasahara and Takahama 1987, pp. 58-59)。

氯化鈉（NaCl；普通食鹽）天然形成立方晶體。

世界上最大的立方體是原子球塔，它是為 1958 年布魯塞爾世界博覽會建造的結構，如上圖所示（© 2006 Art Creation (ASBL)；Artists Rights Society (ARS), New York; SABAM, Belgium）。原子球塔高 334.6 英尺，頂點和中心的九個球體的直徑為 59.0 英尺。沿立方體邊緣的球體之間的距離為 95.1 英尺，連線球體的管子的直徑為 9.8 英尺。

單位立方體的對偶多面體是邊長為 的八面體。

立方體具有八面體群 的對稱性，並且是等邊帶狀多面體和菱面體。它有 13 條對稱軸： （連線相對邊中點的軸）、 （空間對角線）和 （連線相對面質心的軸）。

立方體頂點的連通性由立方圖給出。

使用所謂的“錢包鉸鏈”，一個由六個立方體組成的環可以連續旋轉 (Wells 1975; Wells 1991, pp. 218-219)。

上面的插圖顯示了透過用各種平面切割以原點為中心的單位立方體而獲得的橫截面。下表總結了這些切片的度量屬性。

切割平面	面形狀	邊長	表面積	碎片體積
	正方形	1	1	,
	長方形	1,		,
	六邊形			,
	等邊三角形			,

如上所示，穿過相對邊中點（垂直於 軸）的平面將立方體切割成正六邊形橫截面 (Gardner 1960; Steinhaus 1999, p. 170; Kasahara 1988, p. 118; Cundy and Rollett 1989, p. 157; Holden 1991, pp. 22-23)。由於有四個這樣的軸，因此有四個可能的六邊形橫截面。如果立方體的頂點是 ，則內接六邊形的頂點是 、、、、 和 。當從空間對角線延伸方向的角上方觀察立方體時，也會獲得六邊形 (Steinhaus 1999, p. 170)。

透過用穿過其中心的平面切割單位立方體可以獲得的最大橫截面積為 ，對應於與立方體在兩條對角相對的邊和兩條相對的面對角線相交的矩形截面。作為平面法線 的函式獲得的面積如上圖所示 (Hidekazu)。

單葉雙曲面是透過圍繞空間對角線旋轉的立方體的包絡獲得的 (Steinhaus 1999, pp. 171-172; Kabai 2002, p. 11)。邊長為 的立方體的結果體積為

(10)

(Cardot and Wolinski 2004)。

更一般地，考慮繞透過中心和點 的旋轉軸獲得的旋轉體，上面顯示了幾個示例。

正如 Hidekazu 所展示的，對於大約 的引數，可以獲得最大體積的實體。這對應於上面的最右側圖。

八面體的面中心形成立方體，立方體的面中心形成八面體 (Steinhaus 1999, pp. 194-195)。可以容納在邊長為 的立方體內的最大正方形，其每個角距離立方體的角 1/4。由此產生的正方形的邊長為 ，而包含該邊的立方體稱為魯珀特王子立方體。

以星狀八面體（左圖）的邊作為多邊形對角線形成的面所構成的實體是一個立方體（右圖；Ball and Coxeter 1987）。在具有單位邊長的立方體的每個面上貼上高度為 1/2 的正方形金字塔，會得到一個菱形十二面體 (Brückner 1900, p. 130; Steinhaus 1999, p. 185)。

由於其八個面相互垂直或平行，因此立方體不能被星狀化。

立方體可以透過用高度為 的金字塔對單位邊長四面體進行增廣來構造。下表給出了可以透過用給定高度 的金字塔增廣立方體來構造的多面體。

	結果
	四角六面體
	菱形十二面體
	星形等邊 24-三角面體

面心軸邊長為 2 的立方體的多面體頂點由 給出。如果立方體沿 z 軸的空間對角線定向，則座標為 (0, 0, )、(0, , )、(, , )、(, , )、(0, , )、(, , )、(, , ) 以及這些向量的負值。一個刻面版本是偉大的立方立方八面體。