魔方

魔方是一個 的 立方體，其外部的 26 個小立方體以內部鉸接的方式連線，使得在任何立方體平面內都可以旋轉（四分之一圈、半圈，雙向皆可）。六個面各自塗有不同的顏色，謎題的目標是透過反覆旋轉將其打亂後，將魔方恢復到每個面都是單一顏色的狀態。這個 謎題 是由匈牙利人厄爾諾·魯比克在 1970 年代發明的，並在接下來的十年中在全球銷售了數百萬個。

魔方可能的排列組合數量是

(Turner and Gold 1985, Schönert)。 Hoey 使用 Cauchy-Frobenius 引理 證明，在整個魔方對稱的共軛關係下，有 種排列組合。

魔方操作的 群 被稱為 魔方群，該群的 凱萊圖 被稱為 魔方圖。從任意初始位置解開魔方所需的最少步數等於 魔方圖 的 圖直徑，有時也被稱為 上帝之數。雖然存在從任意初始位置解開魔方的演算法，但它們不一定是最佳的（即，不一定需要最少步數），並且 上帝之數 的計算非常困難。自 1995 年以來，人們已經知道最壞情況下解開魔方所需的步數下限為 20 步，直到 Rokicki 等人 (2010) 證明沒有任何一種配置需要超過 20 步，才確定上帝之數為 20。

僅使用半步旋轉即可達到的 魔方構型形成一個 諾魯圖。 Wolfram (2022) 透過一個 多向圖 分析了 魔方，其最初幾步如上圖所示。