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立方體剖分

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一個 立方體 可以被分割成 n 個子立方體，僅當 n=1, 8, 15, 20, 22, 27, 29, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 45, 46, 和 n>=48 (OEIS A014544; Hadwiger 1946; Scott 1947; Gardner 1992, p. 297)。這個序列提供了所謂 Hadwiger 問題 的解，該問題詢問一個立方體不能被平面切割分割成的最大子立方體數量（不必不同），答案是 47 (Gardner 1992, pp. 297-298)。

如果 m 和 n 在該序列中，那麼 m+n-1 也在該序列中，因為在 m 剖分中對一個立方體進行 n 剖分，得到一個 (m+n-1) 剖分。數字 1, 8, 20, 38, 49, 51, 54 在序列中，因為剖分對應於以下等式

1^3=1^3
(1)
2^3=8·1^3
(2)
3^3=2^3+19·1^3
(3)
4^3=3^3+37·1^3
(4)
6^3=4·3^3+9·2^3+36·1^3
(5)
6^3=5·3^3+5·2^3+41·1^3
(6)
8^3=6·4^3+2·3^3+4·2^3+42·1^3.
(7)

結合這些事實給出了序列中剩餘的項，以及所有數字 >47，並且已經證明沒有其他數字出現。

不可能將一個立方體切割成尺寸都不同的子立方體 (Gardner 1961, p. 208; Gardner 1992, p. 298)。

SomaCube

用於構建 3×3×3 立方體剖分的七個部件，被稱為 索瑪立方體，是一個 3-立方體 和六個 4-立方體 (1·3+6·4=27)，如上圖所示。

SteinhausCube

斯坦豪斯 (Steinhaus) (1999) 的另一個 3×3×3 立方體剖分使用了三個 5-立方體 和三個 4-立方體 (3·5+3·4=27)，如上圖所示。 有兩個解。

有可能將一個 1×3 矩形 切割成兩個相同的部分，當摺疊和連線時，它們將形成一個 立方體（不重疊）。 事實上，C. L. Baker 發現了這個問題的 無限 個解 (Hunter and Madachy 1975)。

Lonke (2000) 考慮了 f(j,k,n)，即隨機 k 維中心截面的 n 立方體 B_infty^n=[-1,1]^n 的 j 維面的數量，並給出了特殊結果

f(0,k,n)=2^k(n; k)sqrt((2k)/pi)int_0^inftye^(-kt^2/2)gamma_(n-k)(tB_infty^(n-k))dt,
(8)

其中 gamma_(n-k) 是 (n-k) 維高斯機率測度。

另請參閱

康威謎題, 剖分, Hadwiger 問題, 立方體, Slothouber-Graatsma 謎題, 索瑪立方體

使用 探索

參考文獻

Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, pp. 112-113, 1987.Cundy, H. 和 Rollett, A. Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 203-205, 1989.Gardner, M. The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions: A New Selection. New York: Simon and Schuster, 1961.Gardner, M. "Block Packing." Ch. 18 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, pp. 227-239, 1988.Gardner, M. Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations from Scientific American Magazine. New York: W. H. Freeman, pp. 297-298, 1992.Guy, R. K. "Research Problems." Amer. Math. Monthly 84, 810, 1977.Hadwiger, H. "Problem E724." Amer. Math. Monthly 53, 271, 1946.Honsberger, R. Mathematical Gems II. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 75-80, 1976.Hunter, J. A. H. 和 Madachy, J. S. Mathematical Diversions. New York: Dover, pp. 69-70, 1975.Lonke, Y. "On Random Sections of the Cube." Discr. Comput. Geom. 23, 157-169, 2000.Meier, C. "Decomposition of a Cube into Smaller Cubes." Amer. Math. Monthly 81, 630-633, 1974.Scott, W. "Solution to Problem E724." Amer. Math. Monthly 54, 41-42, 1947.Sloane, N. J. A. Sequence A014544 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, pp. 168-169, 1999.

在 上引用

立方體剖分

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "立方體剖分。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/CubeDissection.html

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