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剖分

任何兩個面積相等的直線圖形都可以被剖分成有限數量的碎片，以互相構成。這就是 Wallace-Bolyai-Gerwien 定理。有關將三角形、五邊形和八邊形剖分成正方形的最小剖分，請參見 Stewart (1987, pp. 169-170) 以及 Ball 和 Coxeter (1987, pp. 89-91)。三角形到正方形的剖分（裁縫難題）尤其有趣，因為它可以用鉸接的碎片構建，這些碎片可以摺疊和展開以產生兩種形狀 (Gardner 1961; Stewart 1987, p. 169; Pappas 1989; Steinhaus 1999, pp. 3-4; Wells 1991, pp. 61-62)。

DissectionTriangleSquare

Laczkovich (1988) 證明了圓可以在有限次的剖分中求方 (∼10^(50))。此外，任何邊界由平滑彎曲的片段組成的形狀都可以被剖分成一個正方形。

從二維移動到三維，情況變得相當複雜。一般來說，一個多面體不能被剖分成其他特定型別的多面體。立方體可以被剖分成 n^3 個立方體，其中 n 是任意整數。1900 年，Dehn 證明並非每個稜柱都可以被剖分成一個四面體 (Lenhard 1962, Ball 和 Coxeter 1987)。希爾伯特問題的第三個問題要求確定兩個四面體，它們不能透過剖分成全等的四面體或透過連線全等的四面體來等積。Dehn (1900, 1902) 表明這是不可能做到的，Kagan (1903) 不久後獨立獲得了相同的結果。從 Dehn 的工作中衍生出來的一個量，可以用來分析執行給定實體剖分的可能性，是 Dehn 不變數。

下表是 Gardner (1991, p. 50) 中給出的表格的更新版本。許多改進歸功於 G. Theobald (Frederickson 1997)。將正 n-邊形（其中 n 是第一列中的數字）剖分成正 k-邊形（其中 k 是底行中的數字）所需的最小碎片數量，可以透過相應行和列的交點讀出。在表中，{n} 表示正 n-邊形，GR 為黃金矩形，GC 為希臘十字，LC 為拉丁十字，{5/2} 為五角星（實心五角星形），{6/2} 為六角星（即六芒星或填充的大衛之星），以及 {8/3} 為實心八角星形。

對於翻轉碎片的許可性存在一些爭議。雖然如果兩者都使用相同數量的碎片，則優先選擇未翻轉的剖分是合理的，但當碎片數量不同時，分別列出已知最佳的翻轉和未翻轉剖分也是合理的 (G. Frederickson，與 G. Theobald 的私人交流)。因此，下表將涉及一個或多個翻轉碎片的剖分表示為翻轉/未翻轉，如果已知使用較少碎片的剖分是翻轉的剖分。

{3}{4}{5}{6}{7}{8}{9}{10}{12}GRGCLC{5/2}{6/2}
{4}4
{5}66
{6}557
{7}8798
{8}758/9810/11
{9}891010/111312
{10}7798/9111013
{12}86106111013/1411/12
GR436576967
GC547799111065
LC5586881010757
{5/2}779911101461271010
{6/2}558698119958810
{8/3}8898/9126131212710111310

Wells (1991) 給出了幾個有吸引力的正 十二邊形剖分。一個正凸 n-邊形到另一個正凸 n-邊形的最著名剖分，在以下 Theobald 提供的插圖中顯示了 n=3、4、5、6、7、8、9、10 和 12 的情況。

Dissections3-7
Dissections8-9
Dissections10
Dissections12

下面展示了正凹多邊形的最著名剖分，適用於 {5/2}、{6/2} 和 {8/3} (Theobald)。

Dissections52
Dissections62
Dissections83

下面展示了各種十字形的最著名剖分 (Theobald)。

DissectionsCrosses

下面展示了黃金矩形的最著名剖分 (Theobald)。

DissectionsRectangle

另請參閱

Banach-Tarski 悖論, Blanche 剖分, Cundy 和 Rollett 的蛋形, 十邊形, Dehn 不變數, 魔方, 剖分謬誤, 剖分證明, 剖分謎題, 十二邊形, Ehrhart 多項式, 等積, 等邊三角形, 黃金矩形, 七邊形, 六邊形, 六芒星, 希爾伯特問題, 拉丁十字, 馬耳他十字, 九邊形, 八邊形, 八角星形, 五邊形, 五角星形, 多面體剖分, 勾股正方形謎題, 勾股定理, Rep-Tile, 索瑪立方體, 正方形, 拉克希米之星, 卐字, T 字謎題, 七巧板, Wallace-Bolyai-Gerwien 定理

此條目的部分內容由 Gavin Theobald 貢獻

使用 探索

參考文獻

Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, pp. 87-94, 1987.Coffin, S. T. The Puzzling World of Polyhedral Dissections. New York: Oxford University Press, 1990.Coffin, S. T. and Rausch, J. R. The Puzzling World of Polyhedral Dissections CD-ROM. Puzzle World Productions, 1998.Cundy, H. and Rollett, A. Ch. 2 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., 1989.Dehn, M. "Über raumgleiche Polyeder." Nachr. Königl. Ges. der Wiss. zu Göttingen f. d. Jahr 1900, 345-354, 1900.Dehn, M. "Über den Rauminhalt." Math. Ann. 55, 465-478, 1902.Eppstein, D. "Dissection." http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/dissect.html.Eppstein, D. "Dissection Tiling." http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/distile/.Eriksson, K. "Splitting a Polygon into Two Congruent Pieces." Amer. Math. Monthly 103, 393-400, 1996.Frederickson, G. Dissections: Plane and Fancy. New York: Cambridge University Press, 1997.Frederickson, G. N. Hinged Dissections: Swinging & Twisting. New York: Cambridge University Press, 2002.Gardner, M. "Mathematical Games: About Henry Ernest Dudeney, A Brilliant Creator of Puzzles." Sci. Amer. 198, 108-112, Jun. 1958.Gardner, M. The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions: A New Selection. New York: Simon and Schuster, 1961.Gardner, M. "Paper Cutting." Ch. 5 in Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American. New York: Simon and Schuster, pp. 58-69, 1966.Gardner, M. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. Chicago, IL: Chicago University Press, 1991.Hunter, J. A. H. and Madachy, J. S. Mathematical Diversions. New York: Dover, pp. 65-67, 1975.Kagan, B. "Über die Transformation der Polyeder." Math. Ann. 57, 421-424, 1903.Keil, J. M. "Polygon Decomposition." Ch. 11 in Handbook of Computational Geometry (Ed. J.-R. Sack and J. Urrutia). Amsterdam, Netherlands: North-Holland, pp. 491-518, 2000.Kraitchik, M. "Dissection of Plane Figures." §8.1 in Mathematical Recreations. New York: W. W. Norton, pp. 193-198, 1942.Laczkovich, M. "Von Neumann's Paradox with Translation." Fund. Math. 131, 1-12, 1988.Lenhard, H.-C. "Über fünf neue Tetraeder, die einem Würfel äquivalent sind." Elemente Math. 17, 108-109, 1962.Lindgren, H. "Geometric Dissections." Austral. Math. Teacher 7, 7-10, 1951.Lindgren, H. "Geometric Dissections." Austral. Math. Teacher 9, 17-21, 1953.Lindgren, H. "Going One Better in Geometric Dissections." Math. Gaz. 45, 94-97, 1961.Lindgren, H. Recreational Problems in Geometric Dissection and How to Solve Them. New York: Dover, 1972.Madachy, J. S. "Geometric Dissection." Ch. 1 in Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, pp. 15-33, 1979.Pappas, T. "A Triangle to a Square." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 9 and 230, 1989.Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.Stewart, I. The Problems of Mathematics, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1987.Theobald, G. "Geometric Dissections." http://home.btconnect.com/GavinTheobald/Index.html.Weisstein, E. W. "Books about Dissections." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/Dissections.html.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 56-57 and 243-244, 1991.

在 中引用

剖分

請引用為

Theobald, Gavin 和 Weisstein, Eric W. “剖分”。來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Dissection.html

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