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Ehrhart 多項式

設 Delta 表示一個積分凸多胞形，其維度為 n，位於格點 M 中，並設 l_Delta(k) 表示在 Delta 按照整數因子 k 膨脹後，格點的數量，

l_Delta(k)=#(kDelta intersection M)
(1)

對於 k in Z^+。那麼 l_Delta 是關於 k 的多項式函式，其階數為 n，且係數為有理數

l_Delta(k)=a_nk^n+a_(n-1)k^(n-1)+...+a_0
(2)

稱為 Ehrhart 多項式 (Ehrhart 1967, Pommersheim 1993)。特定的係數具有重要的幾何意義。

1. a_n 是 content of Delta 的容積。

2. a_(n-1) 是 (n-1) 維面的容積之和的一半，這些面是 Delta 的面。

3. a_0=1.

設 S_2(Delta) 表示 Delta 的邊的格點長度之和，那麼當 n=2 時，對應於 Pick 定理，

l_Delta(k)=Vol(Delta)k^2+1/2S_2(Delta)k+1.
(3)

設 S_3(Delta) 表示 Delta 的二維面的格點體積之和，那麼當 n=3 時，得到

l_Delta(k)=Vol(Delta)k^3+1/2S_3(Delta)k^2+a_1k+1,
(4)

其中一個相當複雜的表示式由 Pommersheim (1993) 給出，因為 a_1 很不幸不能 用 Delta 的邊來解釋。頂點為 (0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) 的四面體的 Ehrhart 多項式是

l_Delta(k)=1/6abck^3+1/4(ab+ac+bc+d)k^2+[1/(12)((ac)/b+(bc)/a+(ab)/c+(d^2)/(abc))+1/4(a+b+c+A+B+C)-As((bc)/d,(aA)/d)-Bs((ac)/d,(bB)/d)-Cs((ab)/d,(cC)/d)]k+1,
(5)

其中 s(x,y) 是一個 Dedekind 和, A=GCD(b,c), B=GCD(a,c), C=GCD(a,b) (這裡，GCD 是最大公約數), 且 d=ABC (Pommersheim 1993)。

另請參閱

Dehn 不變數, Pick 定理

使用 探索

參考文獻

Beck, M. and Robins, S. 離散地計算連續：多面體中的整點計數。 New York: Springer, 2007.Ehrhart, E. "Sur une problème de géométrie diophantine linéaire." J. reine angew. Math. 227, 1-29, 1967.Ellis-Monaghan, J. A. and Merino, C. "Graph Polynomials and Their Applications II: Interrelations and Interpretations." 28 Jun 2008. http://arxiv.org/abs/0806.4699.Gardner, M. 來自《科學美國人》的第六本數學遊戲書。 Chicago, IL: University of Chicago Press, p. 215, 1984.Macdonald, I. G. "The Volume of a Lattice Polyhedron." Proc. Camb. Phil. Soc. 59, 719-726, 1963.McMullen, P. "Valuations and Euler-Type Relations on Certain Classes of Convex Polytopes." Proc. London Math. Soc. 35, 113-135, 1977.Pommersheim, J. "Toric Varieties, Lattices Points, and Dedekind Sums." Math. Ann. 295, 1-24, 1993.Reeve, J. E. "On the Volume of Lattice Polyhedra." Proc. London Math. Soc. 7, 378-395, 1957.Reeve, J. E. "A Further Note on the Volume of Lattice Polyhedra." Proc. London Math. Soc. 34, 57-62, 1959.

在 中被引用

Ehrhart 多項式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Ehrhart 多項式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/EhrhartPolynomial.html

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