多面體

“多面體”一詞在幾何學和代數幾何學中略有不同的含義。在幾何學中，多面體僅僅是由一組多邊形組成的三維實體，這些多邊形通常在其邊緣連線。這個詞源於希臘語 poly（多的）加上印歐語 hedron（座位）。多面體是更一般的多胞形（在幾何意義上）的三維版本，多胞形可以在任意維度中定義。多面體的複數形式是“polyhedra”（有時也用“polyhedrons”）。

術語“多面體”在代數拓撲學中的使用方式略有不同，在代數拓撲學中，它被定義為可以由諸如線段、三角形、四面體及其更高維度的類似物等“構建塊”透過沿其面“粘合在一起”而構建的空間（Munkres 1993，第 2 頁）。更具體地說，它可以定義為單純復形的底層空間（有時會額外施加復形是有限的約束；Munkres 1993，第 9 頁）。在通常的定義中，多面體可以被視為半空間的交集，而多胞形是有界多面體。

在Wolfram 語言中，多面體[] 物件表示由具有多邊形面的封閉曲面界定的填充區域。

凸多面體可以正式定義為線性不等式組的解集

其中 是實數 矩陣， 是實數 -向量。雖然用法各異，但大多數作者還要求解是有界的，才能定義凸多面體。上面展示了一個凸多面體的例子。

下表列出了具有 個面的多面體的名稱，用於小的 。當在對稱形式存在的多面體中不加限定地使用該術語時，根據上下文，該術語可能指這種特定的多面體，也可能指任意的 -面多面體。

	多面體
4	四面體
5	五面體
6	六面體
7	七面體
8	八面體
9	九面體
10	十面體
11	十一面體
12	十二面體
14	十四面體
20	二十面體
24	二十四面體
30	三十面體
32	二十-十二面體
60	六十面體
90	九十面體

如果一個多面體的面和頂點圖形是正多邊形（不一定是凸多邊形）（Coxeter 1973，第 16 頁），則稱該多面體是正多面體。根據這個定義，總共有九個正多面體，其中五個是凸柏拉圖立體，四個是凹（星狀）開普勒-泊松多面體。然而，術語“正多面體”有時專門用於指柏拉圖立體（Cromwell 1997，第 53 頁）。柏拉圖立體的對偶多面體不是新的多面體，它們本身就是柏拉圖立體。

如果一個凸多面體的面在每個多面體頂點周圍都具有相似排列的兩個或多個不同型別的非相交正平面凸多邊形（Holden 1991，第 41 頁），則稱該凸多面體為半正多面體。這些立體更常被稱為阿基米德立體，共有 13 種。阿基米德立體的對偶多面體是 13 種新的（且美麗的）立體，有時被稱為卡塔蘭立體。

準正多面體是兩個對偶正多面體內部的實體區域（Coxeter 1973，第 17-20 頁）。只有兩種凸準正多面體：立方八面體和二十-十二面體。還有無限系列的稜柱和反稜柱。

恰好存在 92 種具有正多邊形面的凸多面體（且頂點不一定等價）。它們被稱為約翰遜立體。具有透過對稱操作相關的相同多面體頂點的多面體被稱為均勻多面體。在這些多面體中，有 75 種在多面體稜上只能相遇兩個面，有 76 種可以相遇任意偶數個面。其中，37 種由 Badoureau 於 1881 年發現，12 種由 Coxeter 和 Miller 大約於 1930 年發現。

多面體可以相互疊加（允許邊相互穿過）以產生額外的多面體複合體。由正多面體構成的複合體具有特別美觀的對稱性。對應於多面體骨架的圖稱為施萊格爾圖。

Behnke 等人 (1974) 已經確定了所有關於其多面體頂點對稱的多面體的對稱群。