正多面體

如果一個 多面體 的 面 和 頂點圖形 是 正（不一定是 凸）多邊形，則稱該多面體是正多面體（Coxeter 1973, p. 16）。根據這個定義，共有九種正多面體，其中五種是 凸 柏拉圖立體，四種是 凹（星狀）開普勒-龐索多面體。然而，術語“正多面體”有時專門用於指 凸 柏拉圖立體。

可以證明，根據考克斯特的定義，只存在九種正多面體，透過注意到一個可能的正多面體必須滿足

戈登證明了方程的唯一解為

形式為 是以下各項的排列組合 和 。這給出了 (3, 3, 4) 的三種排列和 (3, 5, ) 的六種排列作為第一個方程的可能解。代入回算得到可能的正多面體的 施萊夫利符號 為 , , , , , , , , 和 (Coxeter 1973, pp. 107-109)。前五個是 柏拉圖立體，其餘四個是 開普勒-龐索多面體。

每個正多面體都有 條對稱軸，其中 是 多面體稜邊 的數量，以及 個對稱 平面，其中 是對應 佩特里多邊形 的邊數。