Kepler-Poinsot 多面體

Kepler-Poinsot 多面體是四個 正多面體，與 柏拉圖立體 不同，它們包含 相交 的面平面。此外，四個 Kepler-Poinsot 多面體中有兩個是用正多角星形面而不是正多邊形面構造的。下表總結了這些多面體以及構成它們的正多邊形（或多角星形）。

多面體	面數	面型別
大十二面體	12
大二十面體	20
小星形十二面體	12
大星形十二面體	12

可以在 Wolfram 語言 中實現 Kepler-Poinsot 多面體的列表，如下所示：PolyhedronData["KeplerPoinsot"].

雖然 Kepler-Poinsot 多面體的外部外觀在視覺上與透過 增廣 十二面體 和 二十面體 建立的實體無法區分，但它們實際上是 二十面體 和 十二面體的星形化，其中包含面在內部的部分。因此，術語“Kepler-Poinsot多面體”比更常見的術語“Kepler-Poinsot立體”更可取。

這些多面體的名稱可能起源於 Arthur Cayley，他於 1859 年首次使用了它們。Cauchy (1813) 證明這四個窮盡了正星形多面體的所有可能性 (Ball and Coxeter 1987)。雖然古代人不知道這些多面體，但 小星形十二面體 大約在 1430 年出現在 Paolo Uccello 在威尼斯聖馬可大教堂地板上的馬賽克中 (Muraro 1955)。大星形十二面體 由 Wenzel Jamnitzer 於 1568 年出版。開普勒重新發現了這兩個（開普勒用“海膽”來稱呼小星形十二面體），並在他 1619 年的作品Harmonice Mundi 中描述了它們。另外兩個已知的多面體，大十二面體 和 大二十面體，隨後在 1809 年被 Poinsot（重新）發現。正如 Cauchy 所展示的，它們是 十二面體 和 二十面體 的星形化形式。

下表列出了這些立體、它們的 對偶 和 複合體。與五個柏拉圖立體一樣，Kepler-Poinsot 多面體的對偶本身也是 Kepler-Poinsot 多面體 (Wenninger 1983, pp. 39 和 43-45)。

	立體	均勻多面體	Schläfli 符號	Wythoff 符號	點群
1	大十二面體
2	大二十面體
3	大星形十二面體
4	小星形十二面體

多面體 和 不滿足 多面體公式

其中 是頂點數， 是邊數， 是面數，儘管該公式適用於所有普通多面體 (Ball and Coxeter 1987)。這個出乎意料的結果導致 Schläfli (1860) 錯誤地得出結論，認為它們不可能存在。

在四維空間中，有 10 個 Kepler-Poinsot 多面體，在 維空間中，其中 ，則沒有。在四維空間中，九個多面體與 具有相同的 多面體頂點，而第十個多面體與 具有相同的多面體頂點。它們的 Schläfli 符號 是 , , , , , , , , , 和 。

Coxeter等人。(1954) 研究了星形“阿基米德”多面體。