二十面體星狀體

將星狀化過程應用於正二十面體會得到

10 種不同形狀和大小的胞（Wenninger 1989，第 41 頁）。

應用被稱為米勒規則的五個限制來定義哪些形式應被認為是重要的和獨特的（Coxeter et al. 1999，第 15-16 頁）之後，共有 59 種星狀體（包括原始正二十面體本身）是可能的（Coxeter et al. 1999）。上面展示的這些星狀體按照 Maeder (1994) 的原始順序給出。

59 種星狀體中有 18 種是完全支撐的。其中，16 種是可反射的，2 種是手性的 (Webb)。

在 59 種二十面體星狀體中，32 種具有完整的二十面體對稱性，27 種是對映異構體形式（Coxeter et al. 1999，第 64-65 頁）。其中一個是柏拉圖立體（二十面體本身），一個是開普勒-泊松多面體，四個是多面體複合體，一個是對偶多面體，是阿基米德立體的對偶多面體。請注意，第一個真正的星狀體（Coxeter 計數中的星狀體 #2）是透過累積二十面體直到每個三角錐的面平行於周圍的原始面而獲得的。這會產生相當小的尖刺，並形成一種稱為小三方二十面體的立體。另請注意，大星形十二面體不是二十面體星狀體，因為其五組三角錐的面不在同一平面上（即使它們看起來非常接近）。

上面展示了原始二十面體、其 20 個面平面以及這些平面與“頂部”面平面的交線。

上面展示了星狀化圖，顯示了一個面與 18 個其他非平行面的 18 條交線，以及這些交線將平面劃分成的區域（Coxeter et al. 1999，第 17 頁）。

透過將 同時用於 2 和 ， 用於 4 和 ， 用於 11 和 ，以及 用於 13、 和 的所有編號，可以簡化區域的編號（Coxeter et al. 1999，第 18-19 頁）。

下表（擴充套件了 Coxeter et al. 1999，第 13 頁和 64-65 頁）總結了許多作者使用的不同排序和符號。較新的 Maeder 編號（“星狀二十面體”網頁，“五十九個二十面體”演示）按遞增的外接球半徑 排序。Rogers（“玩轉二十面體的星狀體”演示）使用了 Coxeter et al. (1999) 的排序和 §3 符號。Coxeter 索引為 1-32 的星狀體是雙向手性的，而索引為 33-59 的星狀體是以右旋形式列出的手性星狀體。要獲得左旋形式，請在“§2”和“§3”符號中將羅馬字型更改為斜體，反之亦然（Coxeter et al. 1999，第 64-65 頁）。

名稱	Coxeter	Coxeter §2	Coxeter §3	Coxeter 圖版	Coxeter 名稱	Wenninger	Wenninger 名稱	Wheeler	Brückner	Maeder	Maeder
正二十面體	1			I	二十面體	4		1		1	1
小三方二十面體	2			I	三角面二十面體	26	三角面二十面體	2	圖 2，圖版 VIII	2	2
八面體 5-複合體	3			I	五個八面體	23		3	圖 6，圖版 IX	3	3
	4			I				4	圖 17，圖版 IX	5	4
	5			II						16	9
	6			II		27	第 2 星狀體	19		21	35
大二十面體	7			II	大二十面體	41	大二十面體	11	圖 24，圖版 XI	11	54
針鼴狀多面體	8			III	完全星狀體	42	最終星狀體	12	圖 14，圖版 XI	4	59
	9			IV		37	第 12 星狀體			6	7
	10			IV						30	14
	11			IV		29	第 4 星狀體	21		10	24
	12			V						24	10
	13			V				20		26	20
	14			V						32	23
	15			VI						14	6
	16			VI				22		8	33
	17			VI						22	55
	18			VII						15	32
	19			VII						28	44
	20			VII		30	第 5 星狀體			19	45
	21			VIII		32	第 7 星狀體	10		7	8
四面體 10-複合體	22			VIII		25	十個四面體的複合體	8	圖 3，圖版 IX	18	12
	23			VIII		31	第 6 星狀體	17	圖 3，圖版 X	23	39
	24			IX						27	11
	25			IX						29	21
向內增強的十二面體	26			IX				9	圖 26，圖版 VIII	20	22
	27			X		28	第 3 星狀體	5		12	5
	28			X				18	圖 20，圖版 IX	17	34
	29			X		33	第 8 星狀體	14		9	47
	30			XI		34	第 9 星狀體	13		13	31
	31			XI						25	43
	32			XI						31	46
	33			XII		35	第 10 星狀體			33	13
	34			XII		36	第 11 星狀體			34	15
	35			XII						35	16
	36			XIII						39	25
	37			XIII		39	第 14 星狀體			45	26
	38			XIII						47	27
	39			XIV						50	56
	40			XIV						54	57
	41			XIV						58	58
	42			XV						48	51
	43			XV						52	52
	44			XV						56	53
	45			XVI		40	第 15 星狀體			42	19
	46			XVI						40	18
四面體 5-複合體（右旋）	47			XVI	五個四面體	24	五個四面體的複合體	7		36	17
四面體 5-複合體（左旋）								6	圖 11，圖版 IX
	48			XVII						57	30
	49			XVII						53	29
	50			XVII						49	28
	51			XVIII		38	第 13 星狀體			43	38
	52			XVIII						41	37
（右旋）	53			XVIII				15		37	36
（左旋）								16
	54			XIX						59	42
	55			XIX						55	41
	56			XIX						51	40
	57			XX						46	50
	58			XX						44	49
	59			XX						38	48

Coxeter 星狀體編號 30 () 對應於中三方二十面體和大三方二十面體的外殼（Wenninger 1983，第 45-50 頁）。