柏拉圖立體

柏拉圖立體，也稱為正立體或正多面體，是 凸多面體，其等效面由全等的 凸 正多邊形 組成。 正好有五個這樣的立體（Steinhaus 1999，第 252-256 頁）：立方體、十二面體、二十面體、八面體 和 四面體，正如歐幾里得在《幾何原本》的最後一個命題中證明的那樣。 柏拉圖立體有時也稱為“宇宙圖形”（Cromwell 1997），儘管該術語有時也用於統稱柏拉圖立體和 克普勒-泊松多面體（Coxeter 1973）。

古希臘人知道柏拉圖立體，柏拉圖約在公元前 350 年的《蒂邁歐篇》中描述了它們。 在這部著作中，柏拉圖將 四面體 等同於“元素”火，立方體 等同於土，二十面體 等同於水，八面體 等同於空氣，十二面體 等同於構成星座和天空的物質（Cromwell 1997）。 在柏拉圖之前，蘇格蘭新石器時代的人們在一千年前就發展出了這五種立體。 這些石模型儲存在牛津的阿什莫林博物館中（Atiyah 和 Sutcliffe 2003）。

Schläfli（1852）證明，在四維空間中正好有六個具有柏拉圖性質的正物體（即 正多胞形），在五維空間中有三個，在所有更高維度中也有三個。 然而，他的作品（其中沒有插圖）實際上一直不為人知，直到 Cayley 以英文部分出版（Schläfli 1858，1860）。 後來，Stringham 等其他數學家在 1880 年獨立發現了類似的結果，Schläfli 的作品於 1901 年在他去世後完整出版。

如果 是一個具有全等（凸）正多邊形面的 多面體，那麼 Cromwell（1997，第 77-78 頁）表明以下陳述是等價的。

1. 的頂點都位於一個 球體 上。

2. 所有 二面角 都相等。

3. 所有 頂點圖形 都是 正多邊形。

4. 所有 立體角 都相等。

5. 所有頂點都被相同數量的 面 包圍。

設 （有時表示為 ）是 多面體頂點 的數量，（或 ）是 圖的邊 的數量，（或 ）是 面 的數量。 下表給出了 施萊夫利符號、Wythoff 符號 和 C&R 符號，頂點數量 、邊數量 和麵數量 ，以及柏拉圖立體的 點群 (Wenninger 1989)。 柏拉圖立體的面的有序數量為 4、6、8、12、20（OEIS A053016；按四面體、立方體、八面體、十二面體、二十面體的順序排列），這也是頂點的有序數量（按四面體、八面體、立方體、二十面體、十二面體的順序排列）。 邊的有序數量為 6、12、12、30、30（OEIS A063722；按四面體、八面體 = 立方體、十二面體 = 二十面體的順序排列）。

柏拉圖立體的對偶也是柏拉圖立體，事實上，四面體 的對偶是另一個 四面體。 設 為對偶多面體的 內半徑（對應於 內切球，它與對偶立體的面相切）， 為多面體及其對偶的中半徑（對應於 中切球，它與多面體及其對偶的邊都相切）， 為柏拉圖立體的 外半徑（對應於 外接球，它與立體的頂點相切）， 為立體的邊長。 由於 外接球 和 內切球 彼此對偶，因此它們服從以下關係

（Cundy 和 Rollett 1989，第 144 頁後的表 II）。 此外，

以下兩個表格給出了單位邊長的柏拉圖立體的這些距離的解析值和數值。

最後，設 為單個 面 的 面積， 為立體的 體積，並且 多面體邊 的邊長為單位長度。 下表總結了柏拉圖立體的這些量。

下表給出了柏拉圖立體的 二面角 和邊從中心 subtended 的角度 （Cundy 和 Rollett 1989，第 144 頁後的表 II）。

在 多面體頂點 處相交的 多面體邊 的數量為 。 施萊夫利符號 可用於指定柏拉圖立體。 對於面是 -邊形（表示為 ）的立體，其中 個在每個 多面體頂點 處相交，符號為 。 給定 和 ，多面體頂點、多面體邊 和麵的數量由下式給出

上面的圖顯示了柏拉圖立體的縮放對偶，嵌入到原始立體的增廣形式中，其中選擇縮放比例是為了使對偶頂點位於原始面的內心處（Wenninger 1983，第 8-9 頁）。

由於柏拉圖立體是凸的，因此每個柏拉圖立體的凸包就是該立體本身。 Isenberg（1992，第 82-83 頁）說明了柏拉圖立體框架的最小曲面。