四面體

一般來說，四面體是一個有四個面的多面體。

如果所有面都全等，則該四面體被稱為等腰四面體。如果所有面都全等於等邊三角形，那麼該四面體被稱為正四面體（儘管術語“四面體”在沒有進一步限定的情況下通常用來表示“正四面體”）。一個三面角的所有面角都是直角的四面體被稱為直角四面體。

一個一般的（不一定是正）四面體，定義為由四個（不一定相同的）三角形面組成的凸多面體，可以透過其多面體頂點指定為 ，其中 , ..., 4。那麼四面體的體積由下式給出

透過從給定的多面體頂點指定三個多面體邊向量 、 和 來指定四面體，體積為

如果頂點 和 之間的邊的長度為 ，那麼體積 由 Cayley-Menger 行列式給出

考慮一個任意四面體 ，其三角形為 、、 和 。設這些三角形的面積分別為 、、 和 ，並將關於 和 的二面角（對於 ）表示為 。那麼四個面的面積透過下式聯絡起來

涉及六個二面角（Dostor 1905，第 252-293 頁；Lee 1997）。這是餘弦定理到四面體的推廣。此外，對於任何 ,

其中 是 和 的公共邊的長度 (Lee 1997)。

給定一個直角四面體，其中一個頂點處所有邊都正交相交，並且與該頂點相對的面表示為 ，則

這是畢達哥拉斯定理的推廣，也適用於更高維的單形（F. M. Jackson，私人通訊，2006 年 2 月 20 日）。

設 為四面體的邊的集合， 為 的冪集。用 表示 中元素 的補集。設 為三元組 的集合，使得 張成四面體的一個面，設 為 的集合，使得 且 。在 中，因此有三個元素是對邊對。現在定義 ，它將長度為 的邊 關聯到量 ，，它將元素 關聯到所有 的 的乘積，以及 ，它將 關聯到所有 的 的和。那麼四面體的體積由下式給出

（P. Kaeser，私人通訊）。

高斯圓問題的類比可以針對四面體提出：在給定內切圓半徑的情況下，有多少個格點位於以原點為中心的四面體內（Lehmer 1940, Granville 1991, Xu and Yau 1992, Guy 1994）。

關於一般（即不一定是正）四面體的性質，有許多有趣且出乎意料的定理（Altshiller-Court 1979）。如果一個平面以給定的比率分割四面體的兩條對邊，那麼它也以相同的比率分割四面體的體積（Altshiller-Court 1979，第 89 頁）。由此可見，任何透過四面體雙中線的平面都會平分四面體的體積（Altshiller-Court 1979，第 90 頁）。

設四面體的頂點表示為 、、 和 ，邊長表示為 、、、、 和 。那麼，如果 表示邊長為 、 和 的三角形的面積，則四面體的體積和外接球半徑透過以下優美的公式聯絡起來

（Crelle 1821，第 117 頁；von Staudt 1860；Rouché 和 Comberousse 1922，第 568-576 頁和 643-664 頁；Altshiller-Court 1979，第 249 頁）。

設 是由外接於半徑為 的球的四面體的第 個面形成的球面三角形的面積，設 是邊 所對的角。那麼

正如 J.-P. Gua de Malves 在 1740 年或 1783 年左右所證明的那樣 (Hopf 1940)。上述公式提供了一種計算正四面體的頂點對其對面所張的立體角 的方法，透過將 （二面角）代入上述公式。因此，

或約 0.55129 球面度。