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Cayley-Menger 行列式

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Cayley-Menger 行列式是一個 行列式，它給出了 單形在 j 維度中的體積。如果 S 是 j-單形在 R^n 中，其頂點為 v_1,...,v_(j+1) 且 B=(beta_(ik)) 表示 (j+1)×(j+1) 矩陣，由下式給出

beta_(ik)=|v_i-v_k|_2^2,
(1)

那麼 內容 V_j 由下式給出

V_j^2(S)=((-1)^(j+1))/(2^j(j!)^2)det(B^^),
(2)

其中 B^^ 是從 (j+2)×(j+2) 矩陣 B 透過在 B 的頂部新增一行 (0,1,...,1) 和在左側新增一列 (0,1,...,1)^(T) 獲得的。L2 範數 向量 |v_i-v_k|_2 是邊長，(2) 中的 行列式 是 Cayley-Menger 行列式 (Sommerville 1958, Gritzmann and Klee 1994)。

對於 j=0, 1, 2, ... 的前因子的乘法逆元為 -1, 2, -16, 288, -9216, 460800, ... (OEIS A055546)。

對於 j=2, (2) 變為

-16Delta^2=|0 1 1 1; 1 0 c^2 b^2; 1 c^2 0 a^2; 1 b^2 a^2 0|,
(3)

這給出了邊長為 a, b 和 c 的平面三角形的 面積，並且是 海倫公式 的一種形式。

對於 j=3，3-單形的內容（即，一般 四面體 的體積）由以下行列式給出

288V^2=|0 1 1 1 1; 1 0 d_(12)^2 d_(13)^2 d_(14)^2; 1 d_(21)^2 0 d_(23)^2 d_(24)^2; 1 d_(31)^2 d_(32)^2 0 d_(34)^2; 1 d_(41)^2 d_(42)^2 d_(43)^2 0|,
(4)

其中頂點 i 和 j 之間的邊長為 d_(ij)。將左側設定為 0（對應於體積為 0 的 四面體）給出了平面 四邊形 頂點之間 距離 的關係 (Uspensky 1948, p. 256)。

Buchholz (1992) 給出了這個方程的一個稍微不同（且對稱性稍差）的形式。

另請參閱

海倫公式, 四邊形, 四面體

此條目由 Karen D. Colins 貢獻

使用 探索

參考文獻

Buchholz, R. H. "Perfect Pyramids." Bull. Austral. Math. Soc. 45, 353-368, 1992.Fiedler M. Matrices and Graphs in Geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2011.Gritzmann, P. and Klee, V. §3.6.1 in "On the Complexity of Some Basic Problems in Computational Convexity II. Volume and Mixed Volumes." In Polytopes: Abstract, Convex and Computational (Ed. T. Bisztriczky, P. McMullen, R. Schneider, R.; and A. W. Weiss). Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1994.Sloane, N. J. A. Sequence A055546 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sommerville, D. M. Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York: Dover, p. 124, 1958.Uspensky, J. V. Theory of Equations. New York: McGraw-Hill, p. 256, 1948.

在 中被引用

Cayley-Menger 行列式

引用為

科林斯, Karen D. "Cayley-Menger 行列式。" 來自 Web 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/Cayley-MengerDeterminant.html

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