海倫公式

平面幾何中的一個重要定理，也稱為海倫公式。 給定邊長 , , 和 以及半周長

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對於一個三角形，海倫公式給出面積 的三角形 為

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海倫公式可以使用 Cayley-Menger 行列式以優美的方式表達為

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另一個高度對稱的形式由下式給出

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(Buchholz 1992)。

將邊長 , , 和 用三角形頂點為圓心的相互相切圓的半徑 , , 和 ' 表示（這些圓定義了索迪圓），

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給出特別優美的形式

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海倫的證明（Dunham 1990）非常巧妙但極其複雜，它彙集了一系列表面上不相關的幾何恆等式，並依賴於圓內接四邊形和直角三角形的性質。 海倫的證明可以在他的著作Metrica（約公元前 100 年至公元 100 年）的命題 1.8 中找到。 這份手稿已經失傳了幾個世紀，直到 1894 年發現了一個片段，1896 年發現了一個完整副本（Dunham 1990，第 118 頁）。 最近，阿拉伯學者阿布·賴漢·穆罕默德·比魯尼的著作將該公式歸功於海倫之前的阿基米德，時間在公元前 212 年之前（van der Waerden 1961，第 228 頁和 277 頁； Coxeter 和 Greitzer 1967，第 59 頁；Kline 1990；Bell 1986，第 58 頁； Dunham 1990，第 127 頁）。

一個更容易理解的代數證明從餘弦定理開始，

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然後

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給出

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(Coxeter 1969)。 海倫公式包含勾股定理作為一種退化情況。