圓內接四邊形

圓內接四邊形是一個可以外接一個圓的四邊形，使得圓接觸到每個多邊形頂點。一個既可以內接於一個圓，又可以外切於另一個圓的四邊形被稱為雙心四邊形。

圓內接四邊形的面積對於任何具有給定邊長的四邊形來說是最大的。圓內接四邊形的對角之和為 弧度（歐幾里得，《幾何原本》第三卷，命題 22；Heath 1956；Dunham 1990，第 121 頁）。如果圓內接四邊形的外心位於四邊形內部，則存在一條封閉的檯球路徑（Wells 1991，第 11 頁）。

面積然後由婆羅摩笈多公式的一個特例給出。設邊長為 , , , 和 ，設 為半周長

(1)

設 為外接圓半徑。則

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第一個公式被稱為婆羅摩笈多公式。解 (2) 和 (3) 中的外接圓半徑，得到

(4)

圓內接四邊形的對角線長度為

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因此 。

一般來說，存在三個本質上不同的圓內接四邊形（模旋轉和反射），它們的邊是長度 , , , 和 的排列。在六個對應的多邊形對角線長度中，有三個是不同的。除了 和 之外，因此還有一個可以表示為 的“第三”多邊形對角線。它由以下方程給出

(7)

這使得面積公式可以寫成特別優美和簡單的形式

(8)

多邊形對角線有時也表示為 , , 和 。

組成圓內接四邊形的四個三角形的內心構成一個矩形。此外，矩形的邊與連線每對頂點之間弧中點的線平行（左圖；Fuhrmann 1890，第 50 頁；Johnson 1929，第 254-255 頁；Wells 1991）。如果將構成四邊形的三角形的外心新增到內心，則得到一個 矩形網格（右圖；Johnson 1929，第 255 頁；Wells 1991）。

再次考慮圓內接四邊形中包含的四個三角形。令人驚訝的是，由這些三角形形成的三角形重心 , 九點圓圓心 , 和垂心 與原始四邊形相似。事實上，由垂心形成的三角形與它全等（Wells 1991，第 44 頁）。

一個具有有理數邊 , , , 和 ，多邊形對角線 和 ，外接圓半徑 ，以及面積 的圓內接四邊形由 , , , , , , , 和 給出。

設 是一個四邊形，使得角 和 是直角，則 是一個圓內接四邊形（Dunham 1990）。這是一個推論，源於在直角三角形中，斜邊的中點到三個頂點等距的定理。由於 是直角三角形 和 的中點，因此它到所有四個頂點等距，因此可以繪製一個以 為圓心的圓穿過它們。這個定理是海倫推導海倫公式的基石之一。

應用婆羅摩笈多定理得出一個漂亮的結論：對於對角線垂直的圓內接四邊形，從外心 到一邊的距離是相對邊長度的一半，所以在上圖中，

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等等（Honsberger 1995，第 37-38 頁）。

設 和 是圓內接四邊形 的對角線中點，設 是對角線的交點。那麼 三角形 的垂心是 的反心 （Honsberger 1995，第 39 頁）。

放置四個相等的圓，使它們在一個點相交。那麼四邊形 是一個圓內接四邊形（Honsberger 1991）。對於一個凸圓內接四邊形 ，考慮一組凸圓內接四邊形 ，其邊與 平行。那麼具有最大面積的 是多邊形對角線垂直的那個（Gürel 1996）。