檯球

檯球遊戲是在一個矩形桌子上（稱為檯球桌）進行的，球被放置在桌子上。然後用“球杆”的末端擊打一個球（“主球”），使其彈到其他球上並從桌子的側面反射。真正的檯球可能涉及旋轉球，使其不沿直線運動，但檯球的數學研究通常包括反射，其中反射角和入射角相同。然而，通常會考慮諸如圓形和橢圓形等奇怪的桌子形狀。1959 年流行的動畫短片唐老鴨在數學魔法樂園中，唐老鴨透過教程演示瞭如何使用通常刻在真實檯球桌邊緣的菱形來贏得檯球比賽。

在詳細研究檯球軌跡時，可能會出現許多有趣的問題。例如，任何光滑平面凸集都至少有兩個雙法線，因此對於任何平滑彎曲的桌子，總是存在兩條不同的“來回”路徑。更令人驚訝的是，總是存在 個不同的 -角週期軌道在光滑的檯球桌上，其中 是尤拉函式（Croft et al. 1991, p. 16）。這給出了 Steinhaus 的結果，即總是存在兩個不同的週期性三角形軌道（Croft 和 Swinnerton 1963）作為特例。檯球路徑的分析可能涉及遍歷理論和動力系統的複雜應用。

給定一個只有角袋且邊長為整數長度 和 （其中 和 互質）的矩形檯球桌，從一個角以 度角發射的球將在 次反彈後落入另一個角袋中（Steinhaus 1999, p. 63; Gardner 1984, pp. 211-214）。Steinhaus（1999, p. 64）還給出了一種確定如何擊打檯球的方法，使其在擊中第二個球之前從四邊反彈（Knaster 和 Steinhaus 1946，Steinhaus 1948）。

海森檯球問題旨在找到圓形“檯球”桌邊緣的一個點，在該點必須瞄準主球，以便從桌子邊緣反彈一次並擊中第二個給定點的另一個球。使用圓規和直尺構造無法解決此問題（Elkin 1965，Riede 1989，Neumann 1998）。

在橢圓檯球桌上，軌跡的包絡線是一個較小的橢圓、雙曲線、穿過橢圓焦點的直線或閉合多邊形（Steinhaus 1999, pp. 239 和 241; Wagon 1991）。閉合多邊形情況與彭賽列定理有關。

人們還可以考慮多邊形檯球桌上的檯球路徑。在銳角三角形中，單迴路的唯一閉合檯球路徑是垂足三角形。存在無限數量的多回路路徑，但所有線段都平行於垂足三角形的邊。如果圓內接四邊形的外心位於四邊形內部，則在該四邊形內部存在閉合檯球路徑（Wells 1991）。

在一個立方體的每個面上都有四個相同的閉合檯球路徑，並且路徑上的每條腿都具有相同的長度（Hayward 1962; Steinhaus 1979, 1999; Gardner 1984, pp. 33-35; Wells 1991）。此路徑呈椅子狀六邊形，每條腿的長度為 。對於單位立方體，這樣一條路徑的頂點為 (0, 2/3, 2/3), (1/3, 1, 1/3), (2/3, 2/3, 0), (1, 1/3, 1/3), (2/3, 0, 2/3), (1/3, 1/3, 1)。劉易斯·卡羅爾（查爾斯·道奇森）也考慮過這個問題（Weaver 1954）。

在一個四面體的每個面上都有三個相同的閉合檯球路徑，並且路徑的每條腿都具有相同的長度（Gardner 1984, pp. 35-36; Wells 1991）。這些路徑是由 J. H. Conway 發現的，Hayward (1962) 也獨立發現了這些路徑。路徑的頂點是每個面平面中等邊三角形的適當選擇的頂點，這些頂點按 1/10 的因子縮放。對於邊長為單位長度的四面體，每條腿的長度為 。對於頂點為 (0, 0, 0), (0, , ), (, 0, ), (, , 0) 的四面體，這樣一條路徑的頂點為 (, , ), (, , ), (, , ), (, , )。

Conway 已經證明週期軌道存在於所有四面體中，但尚不清楚在每個多面體中是否存在週期軌道（Croft et al. 1991, p. 16）。