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龐塞萊封閉定理

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Poncelet's porism

如果為兩個給定的圓錐曲線構造的n邊龐塞萊橫截線對於一個原點是封閉的，那麼它對於原點的任何位置都是封閉的。具體而言，給定一個內嵌於另一個橢圓的橢圓，如果存在一個外切內接（同時外切於內部橢圓和內接於外部橢圓）n邊形，那麼外部橢圓邊界上的任何點都是某個外切內接n邊形的頂點。如果將圓錐曲線取為圓（Casey 1888，第124-126頁），那麼同時具有內切圓和外接圓（因此橫截線將閉合）的多邊形稱為雙心多邊形。

令人驚訝的是，這個問題與蓋爾範德問題是同構的（King 1994）。

Poncelet's porism diagonals

對於偶數邊多邊形，對角線在兩個圓的極限點處交匯，而對於奇數邊多邊形，連線頂點與相對切點的直線在極限點處交匯。

PonceletsPorismInversion

關於兩個極限點中的任何一個進行反演都會得到兩個同心圓。然而，n邊形的邊在這個過程中變成了圓弧，因此這種簡單的反演並不能自動提供該定理的證明（正如在斯坦納封閉定理中發生的那樣）。

Fuss（1792）不僅推匯出了雙心四邊形的公式，還推匯出了雙心五邊形、六邊形、七邊形和八邊形的公式，Steiner 也做了同樣的事情（Fuss 1792；Jacobi 1823；Steiner 1827；Dörrie 1965，第192頁）。Chaundy（1923）展示了n=3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、16、18、20 的封閉定理，以及幾個其他值的錯誤表示式（Kerawala 1947）。Richelot 推匯出了 n=11 的表示式。事實上，存在一個通用的解析表示式，將雙心多邊形的外接圓半徑 R、內切圓半徑 r 以及 外心 和 內心 之間的偏移量 d 聯絡起來。給定 R、r 和 d，定義

a=1/(R+d)
(1)
b=1/(R-d)
(2)
c=1/r.
(3)

請注意，由於 r、R 和 d 是正數，且 d<R，因此 0<a<b。

現在讓

lambda=1+(2c^2(a^2-b^2))/(a^2(b^2-c^2))
(4)
omega=cosh^(-1)lambda,
(5)

並定義橢圓模量 k 透過

k^2=1-e^(-2omega).
(6)

那麼 n 邊形為雙心多邊形的條件是

sc((K(k))/n,k)=(csqrt(b^2-a^2)+bsqrt(c^2-a^2))/(a(b+c)),
(7)

其中 sc(x,k) 是雅可比橢圓函式，K(k) 是第一類完全橢圓積分（Richelot 1830，Kerawala 1947）。Kerawala（1947）能夠在不使用橢圓函式的情況下，以簡單的顯式形式建立許多封閉定理。

PonceletsClosureConst

對於上面圖示的兩個圓，內圓上的切線可以透過求解以下方程確定

(x_2-x_1)·(x_2-x_0)=0,
(8)

其中

x_0=[d; 0]
(9)
x_1=[costheta; sintheta]
(10)
x_2=[d+rcosphi; rsinphi],
(11)

r 是內圓的半徑，x 是內圓的偏移量，theta 是外圓上的給定位置，phi 是切線發生的內圓的角度。取點積並簡化得到

r+dcosphi-cos(phi-theta)=0.
(12)

當求解 phi 時，可以使用圓線交點的標準方程找到這條線的延長線再次相交於外圓的點。

對於 n=3、4、...，代數方程的次數 d_n 與 a、b 和 c 相關，分別為 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 21, 24, 24, 32, 36, ... （OEIS A002348；Kerawala 1947）。設 n 的質因數分解寫為

n=2^(alpha_0)product_(i)p_i^(alpha_i),
(13)

那麼 d_n 通常由下式給出

d_n=(4^(alpha_0))/8product_(i)p_i^(2(alpha_i-1))(p_i^2-1).
(14)

在以下表達式中，寫出

e_0=a+b+c
(15)
e_1=-a+b+c
(16)
e_2=a-b+c
(17)
e_3=a+b-c
(18)
E_1=-a^2+b^2+c^2
(19)
E_2=a^2-b^2+c^2
(20)
E_3=a^2+b^2-c^2
(21)
F_1=-E_2E_3+E_3E_1+E_1E_2
(22)
F_2=E_2E_3-E_3E_1+E_1E_2
(23)
F_3=E_2E_3+E_3E_1-E_1E_2
(24)
F_0=E_2E_3+E_3E_1+E_1E_2
(25)
=e_0e_1e_2e_3
(26)
g_0=E_1E_2E_3+2abE_1E_2+2bcE_2E_3+2caE_3E_1
(27)
g_1=E_1E_2E_3-2abE_1E_2+2bcE_2E_3-2caE_3E_1
(28)
g_2=E_1E_2E_3-2abE_1E_2-2bcE_2E_3+2caE_3E_1
(29)
g_3=E_1E_2E_3+2abE_1E_2-2bcE_2E_3-2caE_3E_1
(30)

遵循 Kerawala（1947），以及

p=(R+d)/r
(31)
q=(R-d)/r
(32)

遵循 Richelot（1830）。

雙心三角形（n=3），即任何三角形的方程，可以多種方式書寫為

a+b=c
(33)
(R+d)^(-1)+(R-d)^(-1)=r^(-1)
(34)
sqrt(R-d-r)+sqrt(R+d-r)=sqrt(2R)
(35)
(p-1)(q-1)=1
(36)

（Richelot 1830），或

R^2-2Rr-d^2=0
(37)

（Steiner 1827；F. Gabriel-Marie 1912，第497-501頁；Kerawala 1947；Altshiller-Court 1952，第85-87頁；Wells 1992）。後者有時被稱為尤拉三角形公式。

對於雙心四邊形（n=4），半徑和偏移量透過以下方程聯絡起來

a^2+b^2=c^2,
(38)

（Kerawala 1947），展開後為

1/((R-d)^2)+1/((R+d)^2)=1/(r^2)
(39)

（Davis；Durége；Casey 1888，第109-110頁；F. Gabriel-Marie 1912，第321頁和814-816頁；Johnson 1929；Dörie 1965）。這也可以寫成

(R^2-d^2)^2=2r^2(R^2+d^2),
(40)
(R+r+d)(R+r-d)(R-r+d)(R-r-d)=r^4
(41)

（Steiner 1827），或

(p^2-1)(q^2-1)=1
(42)

（Richelot 1830）。

雙心五邊形（n=5）的關係是

r(R-d)=(R+d)sqrt((R-r+d)(R-r-d))+(R+d)sqrt(2R(R-r-d))
(43)

（Steiner 1827）或

4p^2q^2(p-1)(q-1)=(p^2+q^2-p^2q^2)^2
(44)

（Richelot 1830）。一些替代形式由下式給出

(a+b)(b+c)(c+a)=a^3+b^3+c^3
(45)
(a+b+c)^3=4(a^3+b^3+c^3)
(46)
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)+4abc=0
(47)
|e_0 e_3 e_2; e_3 e_0 e_1; e_2 e_1 e_0|=0
(48)
a(-a^2+b^2+c^2)+b(a^2-b^2+c^2)+c(a^2+b^2-c^2)+2abc=0,
(49)

和

e_0^(-1)+e_1^(-1)+e_2^(-1)+e_3^(-1)=0
(50)

（Kerawala 1947）。

對於 n=6，

3(R^2-d^2)^4=4r^2(R^2+d^2)(R^2-d^2)^2+16r^4d^2R^2
(51)

（Steiner 1827），

4p^2q^2(p^2-1)(q^2-1)=(p^2+q^2-p^2q^2)^2
(52)

（Richelot 1830），

F_3=0,
(53)

或

E_1^(-1)+E_2^(-1)=E_3^(-1)
(54)

（Kerawala 1947）。

對於 n=7，

g_3=0
(55)

（Jacobi 1823，Kerawala 1947）

對於 n=8，

E_1^(-2)+E_2^(-2)=E_3^(-2)
(56)

（Kerawala 1947），也可以寫成以下形式

16p^4q^4(p^2-1)(q^2-1)=(p^2+q^2-p^2q^2)^4,
(57)

（Richelot 1830，Jacobi 1823）。Steiner（1827）給出的方程包含（至少一個）印刷錯誤。

對於 n=9，

aF_2F_3+bF_3F_1-cF_1F_2=0.
(58)

對於 n=10，

16p^2q^2(p^2-1)(q^2-1)[p^4q^4-(p^2-q^2)^2]^2 ={[p^4-(p^2q^2-q^2)^2]^2+[q^4-(p^2q^2-p^2)^2]^2+[p^4q^4-(p^2-q^2)^2]^2}^2
(59)

（Richelot）。

對於 n=12，

64p^4q^4(p^2-1)(q^2-1)[p^4q^4-(p^2-q^2)^2]^2 ={[p^4-(p^2q^2-q^2)^2]^2+[q^4-(p^2q^2-p^2)^2]^2+[p^4q^4-(p^2-q^2)^2]^2}^2
(60)

（Richelot）。

對於 n=14，

g_1=0.
(61)

對於 n=16，

E_2^(-2)+E_3^(-2)=E_1^(-2),
(62)

（Kerawala 1947）或

64p^4q^4(p^2-1)(q^2-1){[p^4q^4-(p^2-q^2)^2](p^2+q^2-p^2q^2)}^4 ={[p^4-(p^2q^2-q^2)^2]^2+[q^4-(p^2q^2-p^2)^2]^2+[p^4q^4-(p^2-q^2)^2]^2}^4
(63)

（Richelot 1830）。

Weill（1878）給出了尋找偶數 n 的封閉定理的近似解 (d,r,R) 的演算法。下表給出了固定 R<<1 的近似關係。

nd/Rr/R誤差
61/23/4(243)/(128)R^8
81/4(15)/4r(2955538440751415296)/(6568408355712890625)R^(16)
101/(10)sqrt(10)9/(40)sqrt(10)

另請參閱

雙心多邊形, 雙心四邊形, 檯球, 圓線交點, 共線, 圓內接四邊形, 尤拉三角形公式, 約翰遜定理, 龐塞萊橫截線, 封閉定理, 韋伊定理

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參考文獻

Allanson, B. "Bicentric Polygons" java applet. http://members.ozemail.com.au/~llan/bimovie.html.Altshiller-Court, N. College Geometry: A Second Course in Plane Geometry for Colleges and Normal Schools, 2nd ed., rev. enl. New York: Barnes and Noble, 1952.Appell, P. and Lacour, E. Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications. Paris: Gauthier-Villars, pp. 138-139 and 227-243, 1922.Baker, H. F. An Introduction to Plane Geometry. London: Cambridge University Press, 1963.Barth, W. and Bauer, T. "Poncelet Theorems." Expos. Math. 14, 125-144, 1996.Barth, W. and Michel, J. "Modular Curves and Poncelet Polygons." Math. Ann. 295, 25-49, 1993.Berger, M. Geometry I. New York: Springer-Verlag, 1994.Bos, H. J. M. "The Closure Theorem of Poncelet." Rendiconti del seminario matematico e fisico di Milano 54, 145-158, 1984.Bos, H. J. M. "Poncelet's Proof of the Closure Theorem." Sugaku seminar 25, 81-87, 1986.Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; and Raven, D. W. "Poncelet's Closure Theorem, Its History, Its Modern Formulation, a Comparison of Its Modern Proof with Those by Poncelet and Jacobi, and Some Mathematical Remarks Inspired by These Early Proofs." Expos. Math. 5, 289-364, 1987.Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., 1888.Cayley, A. Philos. Mag. 5, 281-284, 1853a.Cayley, A. Philos. Mag. 6, 99-102, 1853b.Cayley, A. "Developments on the Porism of the In-and-Circumscribed Polygon." Philos. Mag. 7, 339-345, 1854.Cayley, A. Phil. Trans. Roy. Soc. London 151, 225-239, 1861.Chaundy, T. W. Proc. London Math. Soc. 22, 104-123, 1923.Chaundy, T. W. Proc. London Math. Soc. 25, 17-44, 1926.Clifford, W. K. Proc. London Math. Soc. 7, 29-38.Clifford, W. K. Proc. London Math. Soc. 7, 225-233.Clifford, W. K. Proc. Cambridge Phil. Soc., 120-123, 1868.Darboux, G. Comte Rendus de l'Acadamie de Sciences 90, 1880.Darboux, G. Principles de géométrie analytique, Vol. 3. Paris, pp. 250-287, 1917.Davis, M. A. Educ. Times 32.Dörrie, H. 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover, pp. 192-193, 1965.Durége. Theorie der Elliptischen Functionen. p. 185.Emelyanov L. and Emelyanova, T. "Euler's Formula and Poncelet's Porism." Forum Geom. 1, 137-140, 2001. http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200120.pdf.Fuss, N. Nova Acta Petropol. 10, 1792.Fuss, N. "De Polygonis symmetrice irregularibus circulo simul inscriptis et circumscriptis." Nova Acta Petropol. 13, 166-189, 1798.F. Gabriel-Marie. Exercices de Géométrie. Tours, France: Maison Mame, 1912.Griffiths, P. and Harris, J. "A Poncelet Theorem in Space." Comment. Math. Helv. 52, 145-160, 1977.Griffiths, P. and Harris, J. "On Cayley's Explicit Solution to Poncelet's Porism." Enseign. Math. 24, 31-40, 1978.Hart. Quart. J. Math., 1857.Jacobi, C. G. J. "Ueber die Anwendung der elliptischen Transcendenten auf ein bekanntes Problem der Elementargeometrie." J. reine angew. Math. 3, 376-387, 1823. Reprinted in Gesammelte Werke, Vol. 1. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 278-293, 1969.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 91-96, 1929.Kerawala, S. M. "Poncelet Porism in Two Circles." Bull. Calcutta Math. Soc. 39, 85-105, 1947.King, J. L. "Three Problems in Search of a Measure." Amer. Math. Monthly 101, 609-628, 1994.Lebesgue, H. "Polygones de Poncelet." Ch. 4 in Les Coniques. Paris: Gauthier-Villars, pp. 115-149, 1955. Reprint of "Exposé gémoétrique d'un mémoire de Cayley sur les Polygones de Poncelet." Ann. de la Faculté des Sci. de l'Université de Toulouse 14, 1922.Lelieuvre, A. "Sur les polygones de Poncelet." L'enseign. math. 2, 410-423, 1900.Lelieuvre, A. "Sur les polygones de Poncelet." L'enseign. math. 3, 115-117, 1901.Moutard, M. "Recherches analytiques sur les polygones simultanément inscrits et circonscrits à deux coniques." Appendix to Poncelet, J. V. Traité des propriétés projectives des figures: ouvrage utile à qui s'occupent des applications de la géométrie descriptive et d'opérations géométriques sur le terrain, Vol. 1, 2nd ed. Paris: Gauthier-Villars, pp. 535-560, 1865-66.Poncelet, J. V. Traité des propriétés projectives des figures: ouvrage utile à qui s'occupent des applications de la géométrie descriptive et d'opérations géométriques sur le terrain, Vols. 1-2, 2nd ed. Paris: Gauthier-Villars, 1865-66.Previato, E. "Poncelet's Theorem in Space." Proc. Amer. Math. Soc. 127, 2547-2556, 1999.Radić, M. "Some Relations Concerning Triangles and Bicentric Quadrilaterals in Connection with Poncelet's Closure Theorem." Math. Maced. 1, 35-58, 2003.Radić, M. "Extreme Areas of Triangles in Poncelet's Closure Theorem." Forum Geom. 4, 23-26, 2004. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200403index.html.Richelot, F. J. "Anwendung der elliptischen Transcendenten auf die sphärischen Polygone; welche zugleich einem kleinen Kreise der Kugel eingescrieben und einem andern umgeschrieben sind." J. reine angew. Math. 5, 250-267, 1830.Richelot, F. J. "Über die Anwendung Einiger Formeln aus der Theorie der Elliptischen Functionen auf ein Bekanntes Problem der Geometrie." J. reine angew. Math. 38, 353-372, 1849.Rosanes, J. and Pasch, M. "Über das einem Kegelschnitte umbeschriebene und einem andern einbeschriebene Polygon." J. reine angew. Math. 64, 126-166, 1865.Rosanes, J. and Pasch, M. "Über eine algebraische Aufgabe, welche einer Gattung geometrischer Probleme zu Grunde liegt." J. reine angew. Math. 70, 169-173, 1869.Schoenberg, I. J. "On Jacobi-Bertrand Proof of a Theorem of Poncelet." In Studies in Pure Mathematics to the Memory of Paul Turán (Ed. P. Erdős). Basel, Switzerland: Birkhäuser, pp. 623-627, 1983.Sloane, N. J. A. Sequence A002348/M0549 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Steiner, J. §26.57 in "Aufgaben und Lehrsätze, erstere aufzulösen, leztere zu beweisen." J. reine angew. Math. 2, 289, 1827.Titchmarsh, E. C. Messenger Math. 52, 42, 1922.Weill, M. and Bützberger. "Sur les polygones inscrits et circonscrits à la fois à deux cercle." Journal de Liouville, 3me série 4, 7-32, 1878.Weill, M. "Sur une classe de polygones de Poncelet." Bull. de la Soc. Math. France 29, 199-208, 1901.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Viking Penguin, pp. 192-193, 1992.

在 中被引用

龐塞萊封閉定理

引用為

Weisstein, Eric W. "Poncelet's Porism." 來自 網路資源. https://mathworld.tw/PonceletsPorism.html

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