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極限點

PonceletsPorismInversion

關於某點的反演變換將兩個圓變成同心圓。每一對不同的圓都有兩個極限點。

PointCircles

極限點對應於共軸圓系的點圓，並且共軸圓系的極限點是相對於該系統中任何圓的反演點。

為了找到半徑為 r 和 R 的兩個圓的極限點，這兩個圓的圓心距離為 d，建立一個座標系，中心位於半徑為 R 的圓上，另一個圓的中心位於 (d,0)。然後，反演中心為 (x_0,0) 的反演圓的中心位置方程，

x^'=x_0+(k^2(x-x_0))/((x-x_0)^2+(y-y_0)^2-a^2),
(1)

變為

x_1^'=x_0+(k^2(d-x_0))/((d-x_0)^2-r^2)
(2)
x_2^'=x_0+(k^2(0-x_0))/((0-x_0)^2-R^2)
(3)

分別對於第一個圓和第二個圓。令 x_1^'=x_2' 得到

(d-x_0)/((d-x_0)^2-r^2)=(-x_0)/(x_0^2-R^2),
(4)

並使用二次方程求解，得到極限點的位置為

x^'=(d^2-r^2+R^2+/-sqrt((d^2-r^2+R^2)^2-4d^2R^2))/(2d).
(5)

另請參閱

共軸圓系, 同心圓, 反演點, 反演中心, 點圓

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參考文獻

Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p. 43, 1888.Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 123 and 130, 1928.

在 中被引用

極限點

請這樣引用

Weisstein, Eric W. "Limiting Point." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/LimitingPoint.html

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