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反演

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InversePoints

反演是將點 P 轉換為一組相應的點 P^' 的過程，這些點被稱為它們的反演點。如果對於一個具有反演中心 O=(x_0,y_0) 和反演半徑 k 的反演圓，兩個點 P 和 P^' 被稱為互為反演點，如果 P^' 是 DeltaOQP 的高線的垂足，其中 Q 是圓上的一個點，使得 OQ_|_PQ。

反演的類似概念可以在三維空間中相對於反演球執行。

如果 P 和 P^' 是反演點，則透過 P 且垂直於 OP 的直線 L 有時被稱為相對於點 P^' 的“極線”，點 P^' 被稱為“反演極點”。此外，給定曲線在反演下變換成的曲線稱為其反演曲線（或更簡單地說，其“反演”）。這種反演最早由雅各布·施泰納系統地研究。

從相似三角形可以立即得出，反演點 P 和 P^' 滿足

(OP)/k=k/(OP^'),
(1)

或

k^2=OP×OP^'
(2)

（Coxeter 1969，第 78 頁），其中量 k^2 被稱為圓冪（Coxeter 1969，第 81 頁）。

相對於反演圓，具有反演中心 (x_0,y_0) 和反演半徑 k 的反演圓，點 (x,y) 的一般方程由下式給出

x^'=x_0+(k^2(x-x_0))/((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)
(3)
y^'=y_0+(k^2(y-y_0))/((x-x_0)^2+(y-y_0)^2).
(4)

在向量形式中，

x^'=x_0+(k^2(x-x_0))/(|x-x_0|^2).
(5)

請注意，反演圓的圓周上的點是其自身的反演點。此外，任何角反演為相反的角。

InversionCircles

將直線視為半徑無限的圓，所有圓都反演為圓（Lachlan 1893，第 221 頁）。此外，透過在兩個所謂的極限點之一處取反演中心，任何兩個不相交的圓都可以反演為同心圓（Coxeter 1969），並且任何兩個圓都可以反演為自身或反演為兩個相等的圓（Casey 1888，第 97-98 頁）。正交圓反演為正交圓（Coxeter 1969）。反演圓本身、與其正交的圓以及透過反演中心的直線在反演下是不變的。此外，反演是保角對映，因此角度得以保留。

Inversion

反演將圓和直線變換為圓或直線（並且反演是保角的）的性質使其成為平面解析幾何中極其重要的工具。透過選擇合適的反演圓，通常可以將一個幾何配置轉換為另一個更簡單的配置，從而更容易地完成證明。上面的圖示顯示了幾何反演結果的示例。

半徑為 a，中心為 (x,y) 的圓，相對於具有反演中心 (x_0,y_0) 和反演半徑 k 的反演圓的反演是另一個圓，其中心為

x^'=x_0+s(x-x_0)
(6)
y^'=y_0+s(y-y_0)
(7)

和半徑

r^'=|s|a,
(8)

其中

s=(k^2)/((x-x_0)^2+(y-y_0)^2-a^2).
(9)

這些方程也可以自然地擴充套件到相對於三維空間中的球體的反演。

Checker
InverseChecker

上面的圖顯示了一個以 (0, 0) 為中心的棋盤及其關於也以 (0, 0) 為中心的小圓的反演（Gardner 1984，第 244-245 頁；Dixon 1991）。

參見

變形藝術, 阿貝洛斯, 圓冪, 保角對映, 環面, 六角環, 反演曲線, 反演點, 反演圓, 反演運算, 反演極點, 反演半徑, 反演球, 反演距離, 反演幾何, 極限點, 中圓, 巴普斯鏈, 波瑟利耶反演器, 排列反演, 極線, 根軸, 施泰納鏈, 施泰納閉合定理

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參考文獻

Casey, J. "反演理論." §6.4 in 歐幾里得《幾何原本》前六卷的續篇，包含現代幾何的簡易入門及大量例題，第 5 版，修訂增補版。 Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 95-112, 1888.Coolidge, J. L. "反演." §1.2 in 圓與球的幾何學專著。 New York: Chelsea, pp. 21-30, 1971.Courant, R. and Robbins, H. "幾何變換。反演." §3.4 in 什麼是數學？：思想和方法的初等方法，第 2 版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 140-146, 1996.Coxeter, H. S. M. "圓的反演" and "直線和圓的反演." §6.1 and 6.3 in 幾何學導論，第 2 版。 New York: Wiley, pp. 77-83, 1969.Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "反演幾何導論." Ch. 5 in 幾何再探。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 103-131, 1967.Darboux, G. 關於正交系統和曲線座標的課程。 Paris: Gauthier-Villars, 1910.Dixon, R. "反演點和中圓." §1.6 in 數學圖形。 New York: Dover, pp. 62-73, 1991.Durell, C. V. "反演." Ch. 10 in 現代幾何：直線和圓。 London: Macmillan, pp. 105-120, 1928.Fukagawa, H. and Pedoe, D. "可以透過反演解決的問題." §1.8 in 日本寺廟幾何問題。 Winnipeg, Manitoba, Canada: Charles Babbage Research Foundation, pp. 17-22 and 93-99, 1989.Gardner, M. 來自《科學美國人》的第六本數學遊戲書。 Chicago, IL: University of Chicago Press, 1984.Jeans, J. H. 電磁數學理論，第 5 版。 Cambridge, England: The University Press, 1925.Johnson, R. A. 現代幾何：關於三角形和圓的幾何學的初等論述。 Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 43-57, 1929.Kelvin, W. T. and Tait, P. G. 力學和動力學原理，第 2 卷。 New York: Dover, p. 62, 1962.Lachlan, R. "反演理論." Ch. 14 in 現代純幾何的初等論述。 London: Macmillian, pp. 218-236, 1893.Liouville, J. "關於前一篇文章的註釋。" J. math. pures appl. 12, 265-290, 1847.Lockwood, E. H. "反演." Ch. 23 in 曲線之書。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 176-181, 1967.Maxwell, J. C. 電磁學專著，第 1 卷，未刪節第 3 版。 New York: Dover, 1954.Maxwell, J. C. 電磁學專著，第 2 卷，未刪節第 3 版。 New York: Dover, 1954.Morley, F. and Morley, F. V. 反演幾何。 Boston, MA: Ginn, 1933.Ogilvy, C. S. 幾何學漫步。 New York: Dover, pp. 25-31, 1990.Schmidt, H. 反演及其應用。 Munich, Germany: Oldenbourg, 1950.Thomson, W. "威廉·湯姆森先生給劉維爾先生的信的摘錄。" J. math. pures appl. 10, 364-367, 1845.Thomson, W. "致劉維爾先生的兩封信的摘錄。" J. math. pures appl. 12, 256, 1847.Wangerin, A. S.147 in 勢論和球函數理論，第二卷。 Berlin: de Gruyter, 1921.Weber, E. 電磁場：理論與應用。 New York: Wiley, p. 244, 1950.Wells, D. 企鵝好奇和有趣的幾何學詞典。 London: Penguin, pp. 119-121, 1991.

在 中被引用

反演

引用為

Weisstein, Eric W. "反演。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/Inversion.html

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