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帕普斯鏈

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PappusChain

從與構成曲邊弓形的三個半圓相切的圓 P_1 開始，構造一系列相切圓 P_i，所有這些圓都與兩個較小的內圓之一以及較大的外圓相切。這個鏈被稱為帕普斯鏈（左圖）。

在帕普斯鏈中，從第一個內切圓 P_1 的圓心到底線的距離是圓的半徑的兩倍，從第二個圓 P_2 的圓心到底線的距離是半徑的四倍，對於第 n 個圓 P_n，這個距離是半徑的 2n 倍。此外，圓 P_i 的圓心位於一個橢圓上（右圖）。

如果 r=AB/AC，那麼帕普斯鏈中第 n 個圓 P_n 的圓心和半徑是

x_n=(r(1+r))/(2[n^2(1-r)^2+r])
(1)
y_n=(nr(1-r))/(n^2(1-r)^2+r)
(2)
r_n=((1-r)r)/(2[n^2(1-r)^2+r]).
(3)

這個一般結果簡化為 r_n=1/(6+n^2) 對於 r=2/3 (Gardner 1979)。Gaba (1940) 考慮了當 AC=1+AB 時的進一步特殊情況。

PappusCircle

第一個圓的切點位置是

x_A=r/((1-r)^2)
(4)
y_A=(r(1-r))/((1-r)^2)
(5)
x_B=(r(1+r))/(1+r^2)
(6)
y_B=(r(1-r))/(1+r^2)
(7)
x_C=(r^2)/(1-2r+2r^2)
(8)
y_C=(r(1-r))/(1-2r+2r^2).
(9)

第 n 個圓 P_n 的直徑由曲邊弓形底邊的垂直距離的 (1/n) 分之一給出。帕普斯知道這個結果，他稱之為古代定理 (Hood 1961, Cadwell 1966, Gardner 1979, Bankoff 1981)。請注意，這也適用於從 P_1 開始並與曲邊弓形的兩個內半圓相切的相切圓鏈。最簡單的證明是透過反演幾何。

從 n 的方程中消去 x_n 和 y_n，圓 P_n 的圓心 (x_n,y_n) 給出

4rx^2-2r(1+r)x+(1+r)^2y^2=0.
(10)

完成平方得到

4r[x-1/4(1+r)]^2+(1+r^2)y^2=1/4r(1+r)^2,
(11)

可以重新排列為

[(x-1/4(1+r))/(1/4(1+r))]^2+(y/(1/2sqrt(r)))^2=1,
(12)

這僅僅是一個橢圓的方程，其中心為 ((1+r)/4,0)，半長軸和半短軸分別為 (1+r)/4 和 sqrt(r)/2。由於

c=sqrt(a^2-b^2)=1/4(1-r),
(13)

(1+r)/4+/-c=r/2 和 1/2，因此橢圓的焦點位於界定鏈的半圓的中心。

PappusTangentChain

與第一個曲邊弓形半圓和相鄰帕普斯圓 P_(n-1) 和 P_n 相切的圓 T_n 的位置和大小為

x_n^'=(r(7+r))/(2[4+4n(n-1)(1-r)^2+r(r-1)])
(14)
y_n^'=(2(2n-1)r(1-r))/(4+4n(n-1)(1-r)^2+r(r-1))
(15)
r_n^'=(r(1-r))/(2[4+4n(n-1)(1-r)^2+r(r-1)]).
(16)

日本寺廟算題 (算額問題) 在 1788 年東京府考慮了 r=1/2（給出形成曲邊弓形的等圓）的這個問題的特殊情況 (Rothman 1998)。在這種情況下，解簡化為

x_n^'=(15)/(2(15-4n+4n^2))
(17)
y_n^'=(2(2n-1))/(15-4n+4n^2)
(18)
r_n^'=1/(2(15-4n+4n^2)).
(19)
PappusTangentChain2

此外，也可以分析找到圍繞這個圓的三個相切圓的位置和半徑，並由下式給出

x_n^((1))=(r(17+r))/(2[12+3n(3n-4)(1-r)^2+r(4r-7)])
(20)
y_n^((1))=(3(3n-2)(1-r)r)/(12+3n(3n-4)(1-r)^2+r(4r-7))
(21)
r_n^((1))=(r(1-r))/(2[12+3n(3n-4)(1-r)^2+r(4r-7)])
(22)
x_n^((2))=(r(17+r))/(2[9+3n(3n-2)(1-r)^2-r(1-r)])
(23)
y_n^((2))=(3(3n-1)(1-r)r)/(9+3n(3n-2)(1-r)^2-r(1-r))
(24)
r_n^((2))=(r(1-r))/(2[9+3n(3n-2)(1-r)^2-r(1-r)])
(25)
x_n^((3))=(r(17+7r))/(2[9+12n(n-1)(1-r)^2+r(4r-1)])
(26)
y_n^((3))=(6(2n-1)(1-r)r)/(9+12n(n-1)(1-r)^2+r(4r-1))
(27)
r_n^((3))=(r(1-r))/(2[9+12n(n-1)(1-r)^2+r(4r-1)]).
(28)

如果 B 以黃金比例 phi 分割 AC，那麼鏈中的圓滿足許多其他特殊性質 (Bankoff 1955)。

在每個 曲邊弓形 中，都有兩個帕普斯鏈 P_i 和 P_i^'，其中 P_1=P_1^'。對於固定的 n，連線 P_n 和 P_n^' 的中心的線穿過曲邊弓形的兩個較小半圓的外部相似中心 S。連線 P_n 和 P_(n+1) 的切點以及 P_n^' 和 P_(n-1)^' 的切點的線也穿過 S。同樣，連線 P_n 和大的外部半圓（較小的內部半圓）的切點以及 P_n^' 和大的外部半圓（較小的內部半圓）的切點的線也穿過 S。這可以用圓反演證明。特別地，由於 P_1=P_1^'，P_1 和大的外部半圓的公切線穿過 S。

另請參閱

曲邊弓形, 考克斯特等角相切圓序列, 帕普斯質心定理, 帕普斯調和定理, 帕普斯六邊形定理, 六圓定理, 索迪圓, 施泰納鏈

本條目部分內容由 Floor van Lamoen 貢獻

使用 探索

參考文獻

Bankoff, L. "The Golden Arbelos." Scripta Math. 21, 70-76, 1955.Bankoff, L. "Are the Twin Circles of Archimedes Really Twins?" Math. Mag. 47, 214-218, 1974.Bankoff, L. "How Did Pappus Do It?" In The Mathematical Gardner (Ed. D. Klarner). Boston, MA: Prindle, Weber, and Schmidt, pp. 112-118, 1981.Cadwell, J. H. Topics in Recreational Mathematics. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p. 103, 1888.Gaba, M. G. "On a Generalization of the Arbelos." Amer. Math. Monthly 47, 19-24, 1940.Gardner, M. "Mathematical Games: The Diverse Pleasures of Circles that Are Tangent to One Another." Sci. Amer. 240, 18-28, Jan. 1979.Hood, R. T. "A Chain of Circles." Math. Teacher 54, 134-137, 1961.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, p. 117, 1929.Rothman, T. "Japanese Temple Geometry." Sci. Amer. 278, 85-91, May 1998.Steiner, J. Jacob Steiner's gesammelte Werke, Band I. Bronx, NY: Chelsea, p. 47, 1971.

在 中引用

帕普斯鏈

請引用為

van Lamoen, Floor 和 Weisstein, Eric W. “帕普斯鏈。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/PappusChain.html

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