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迴圈多邊形

迴圈多邊形是一個 多邊形，其 頂點 可以 外接圓 。由於每個 三角形 都有一個 外接圓，因此每個 三角形 都是迴圈的。據推測，對於邊數為 2m+1 的迴圈多邊形，16K^2 (其中 K 是 面積) 滿足一個 首一多項式，其次數為 Delta_m，其中

Delta_m=sum_(k=0)^(m-1)(m-k)(2m+1; k)
(1)
=1/2[(2m+1)(2m; m)-2^(2m)]
(2)

(Robbins 1995)。據推測，邊數為 2m+2 的迴圈多邊形滿足兩個次數為 Delta_m 的 多項式 之一。 Delta_m 的前幾個值是 1, 7, 38, 187, 874, ... (OEIS A000531)。

對於 三角形 (n=3=2·1+1), 該 多項式 是 海倫公式，可以寫成

16K^2=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4,
(3)

並且其關於 Delta_1=1 的階數為 16K^2。對於 圓內接四邊形，該 多項式 是 婆羅摩笈多公式，可以寫成

16K^2=-a^4+2a^2b^2-b^4+2a^2c^2+2b^2c^2-c^4+8abcd+2a^2d^2+2b^2d^2+2c^2d^2-d^4,
(4)

其關於 Delta_1=1 的階數為 16K^2。 Robbins (1995) 給出了 圓內接五邊形 和 圓內接六邊形 的相應 公式。

對於一組形成簡單閉合多邊形的 n 條邊長，對於每個 n>=3，都存在一個具有這些邊長的迴圈 n>=3-gon。此外，在這個迴圈多邊形在所有具有相同邊長的 n-gons 中具有最大的可能面積 (Demir 1966, Oxman 2024)。

參見

共圓, 圓內接六邊形, 圓內接五邊形, 圓內接四邊形, 圓內接四邊形, 日本定理, 多邊形內接

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參考文獻

Demir, H. "Maximum Area of a Region Bounded by a Closed Polygon With Given Sides." Math. Mag. 39, 228-231, 1966.Oxman, V. "On a Polygon Whose Side Lengths Form a Geometric Sequence." Internat. J. Math. Educ. Sci. Tech., 1-7, 2024.Robbins, D. P. "Areas of Polygons Inscribed in a Circle." Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.Robbins, D. P. "Areas of Polygons Inscribed in a Circle." Amer. Math. Monthly 102, 523-530, 1995.Sloane, N. J. A. Sequence A000531 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 上引用

迴圈多邊形

請引用為

Weisstein, Eric W. "迴圈多邊形。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CyclicPolygon.html

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