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圓內接六邊形

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一個六邊形（不必是正六邊形），其多邊形頂點可以圓外接。設

sigma_i=Pi_i(a_1^2,a_2^2,a_3^2,a_4^2,a_5^2,a_6^2)
(1)

表示由六邊形邊長 a_i 的平方 a_i^2 組成的六個變數上的 i 階對稱多項式，因此

sigma_1=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2
(2)
sigma_2=a_1^2a_2^2+a_1^2a_3^2+a_1^2a_4^2+a_1^2a_5^2+a_1^2a_6^2+a_2^2a_3^2+a_2^2a_4^2+a_2^2a_5^2+a_2^2a_6^2+a_3^2a_4^2+a_3^2a_5^2+a_3^2a_6^2+a_4^2a_5^2+a_4^2a_6^2+a_5^2a_6^2
(3)
sigma_3=a_1^2a_2^2a_3^2+a_1^2a_2^2a_4^2+a_1^2a_2^2a_5^2+a_1^2a_2^2a_6^2+a_2^2a_3^2a_4^2+a_2^2a_3^2a_5^2+a_2^2a_3^2a_6^2+a_3^2a_4^2a_5^2+a_3^2a_4^2a_6^2+a_4^2a_5^2a_6^2
(4)
sigma_4=a_1^2a_2^2a_3^2a_4^2+a_1^2a_2^2a_3^2a_5^2+a_1^2a_2^2a_3^2a_6^2+a_1^2a_3^2a_4^2a_5^2+a_1^2a_3^2a_4^2a_6^2+a_1^2a_3^2a_5^2a_6^2+a_1^2a_4^2a_5^2a_6^2+a_2^2a_3^2a_4^2a_5^2+a_2^2a_3^2a_4^2a_6^2+a_2^2a_3^2a_5^2a_6^2+a_2^2a_4^2a_5^2a_6^2+a_3^2a_4^2a_5^2a_6^2
(5)
sigma_5=a_1^2a_2^2a_3^2a_4^2a_5^2+a_1^2a_2^2a_3^2a_4^2a_6^2+a_1^2a_2^2a_3^2a_5^2a_6^2+a_1^2a_2^2a_4^2a_5^2a_6^2+a_1^2a_3^2a_4^2a_5^2a_6^2+a_2^2a_3^2a_4^2a_5^2a_6^2
(6)
sigma_6=a_1^2a_2^2a_3^2a_4^2a_5^2a_6^2.
(7)

然後令 K 為六邊形的面積並定義

u=16K^2
(8)
t_2=u-4sigma_2+sigma_1^2
(9)
t_3=8sigma_3+sigma_1t_2-16sqrt(sigma_6)
(10)
t_4=t_2^2-64sigma_4+64sigma_1sqrt(sigma_6)
(11)
t_5=128sigma_5+32t_2sqrt(sigma_6).
(12)

六邊形的面積然後滿足

ut_4^3+t_3^2t_4^2-16t_3^3t_5-18ut_3t_4t_5-27u^2t_5^2=0,
(13)

或將此方程中的 sqrt(sigma_6) 替換為 -sqrt(sigma_6) 的方程，這是一個關於 u 的七階多項式。這是 1/(4u^2) 乘以 三次方程的多項式判別式

z^3+2t_3z^2-ut_4z+2u^2t_5.
(14)

另請參閱

共圓, 圓內接五邊形, 圓內接多邊形, 圓內接四邊形, Fuhrmann 定理, Lemoine 六邊形

使用 探索

參考文獻

Robbins, D. P. "圓內接多邊形的面積。" Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.Robbins, D. P. "圓內接多邊形的面積。" Amer. Math. Monthly 102, 523-530, 1995.

在 上被引用

圓內接六邊形

請引用為

Weisstein, Eric W. "圓內接六邊形。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CyclicHexagon.html

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