對稱多項式

關於 個變數 , ..., 的對稱多項式（也稱為完全對稱多項式）是一個函式，它在對其變數進行任何置換時保持不變。換句話說，對稱多項式滿足

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其中 且 是索引 1, 2, ..., 的任意置換。

對於固定的 ， 個變數的所有對稱多項式的集合形成一個維度為 的代數。次數為 的單變數多項式 的係數是 的根的代數無關對稱多項式，因此構成所有此類對稱多項式集合的基。

對稱多項式有四個常見的齊次基，每個基都由一個劃分 索引（Dumitriu et al. 2004）。令 為 的長度，基本函式 、完全齊次函式 和冪和函式 定義為 時：

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當 時，定義為：

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其中 是 、 或 之一。此外，單項式函式 定義為

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其中 是在求和中給出不同項的置換集合，並且 被認為是無限的。

由於幾種不同的縮寫和約定被普遍使用，因此在確定正在使用的對稱多項式時必須小心。

n 個變數 上的基本對稱多項式 （有時表示為 或 ）定義為

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第 k 個基本對稱多項式在 Wolfram 語言中實現為SymmetricPolynomial[k, x1, ..., xn].SymmetricReduction[f, x1, ..., xn] 給出 , ..., 中的一對多項式 ，其中 是對稱部分， 是餘數。

或者， 可以定義為生成函式中 的係數

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例如，對於四個變數 , ..., ，基本對稱多項式為

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冪和 定義為

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和 , ..., 之間的關係由所謂的牛頓-吉拉德公式給出。相關函式 的引數由基本對稱多項式（不是 ）給出，定義為

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結果表明， 由生成函式的係數給出

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因此，前幾個值為

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一般來說， 可以從行列式計算得出

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（Littlewood 1958，Cadogan 1971）。特別地，

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（Schroeppel 1972），可以透過代入並乘開來驗證。