Jack 多項式

Jack 多項式是多元正交多項式族，依賴於正引數 。Jack 多項式的正交性在 Macdonald (1995, p. 383) 中得到證明。Jack 多項式有著豐富的歷史，並且 的特殊情況已被更廣泛地研究（Dumitriu et al. 2004）。下表總結了其中一些特殊情況。

	特殊多項式
	四元數區域多項式
1	Schur 多項式
2	區域多項式

Jack (1969-1970) 最初定義了最終以他的名字命名的多項式，當時他試圖評估與非中心 Wishart 分佈 相關的積分（James 1960, Hua 1963, Dumitriu et al. 2004）。Jack 指出， 的情況是 Schur 多項式，並推測 是區域多項式。Foulkes (1974) 提出了為多項式尋找組合解釋的問題，隨後 Knop 和 Sahi (1997) 回答了這個問題。後來的作者將 Schur 和區域多項式的許多已知性質推廣到 Jack 多項式（Stanley 1989, Macdonald 1995）。Jack 多項式在 隨機矩陣 理論中尤其有用（Dumitriu et al. 2004）。

Jack 多項式推廣了單項標量函式 ，它在複平面中的單位圓 上是正交的，權重函式為 unity 。因此， 元 Jack 多項式 的區間可以被認為是 維環面（Dumitriu et al. 2004）。

Jack 多項式有幾個等效的定義（直到某些歸一化約束），以及三種常見的歸一化方式（“C”、“J”和“P”）。“J”歸一化使最低階單項式 monomial 的係數恰好等於 ，而“P”歸一化是首一的。

設 表示所有單項式 的和，其中 範圍涵蓋 的所有不同排列。那麼，前幾個 Jack “J” 多項式由下式給出

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)
			(6)

（Dumitriu et al. 2004 年表 1）。

設 為一個 partition，那麼 Jack 多項式 可以定義為相對於 inner product 正交的函式

(7)

其中 是 Kronecker delta，，其中 是 在 中出現的次數 (Macdonald 1995, Dumitriu et al. 2004)。

Jack 多項式 是 Laplace-Beltrami 型運算元的唯一齊次多項式本徵函式

(8)

其特徵值為 ，最高階項對應於 (Muirhead 1982, Dumitriu 2004)。這裡，

(9)

其中 是 的一個分劃， 是變數的數量。