內積

內積是點積的推廣。在向量空間中，它是一種將向量相乘的方法，這種乘法的結果是一個標量。

更準確地說，對於實向量空間，內積 滿足以下四個性質。設 、 和 為向量， 為標量，則

1. .

2. .

3. .

4. 且僅當 時等號成立。

上面列表中的第四個條件被稱為正定條件。與此相關，請注意，一些作者將內積定義為函式 ，僅滿足上述條件中的前三個，並附加（較弱的）非退化條件（即，如果對於所有 ，，則 ）。在這樣的文獻中，滿足所有這四個條件的函式通常被稱為正定內積 (Ratcliffe 2006)，儘管不滿足正定性的內積有時被稱為不定內積，以避免混淆。這種差異雖然細微，但引入了許多值得注意的現象：例如，不滿足正定性的內積可能會產生“範數”，對於某些向量（此類向量稱為類空間向量）產生虛數大小，並誘匯出“度量”，而這些“度量”實際上不是度量。洛倫茲內積是不定內積的一個例子。

向量空間連同其上的內積被稱為內積空間。此定義也適用於任何域上的抽象向量空間。

內積空間的例子包括

1. 實數 ，其中內積由下式給出

(1)

2. 歐幾里得空間 ，其中內積由點積給出

(2)

3. 實函式的向量空間，其定義域是閉區間 ，內積為

(3)

當給定復向量空間時，上面的第三個性質通常被替換為

(4)

其中 指的是複共軛。具有此性質的內積稱為埃爾米特內積，具有埃爾米特內積的復向量空間稱為埃爾米特內積空間。

每個內積空間都是度量空間。 度量由下式給出

(5)

如果此過程產生完備度量空間，則稱為希爾伯特空間。更重要的是，每個內積自然地誘導一個形式為

(6)

的範數，由此可見，每個內積空間自然也是賦範空間。如上所述，不滿足正定性的內積產生“度量”——因此也產生“範數”——由於可能不滿足各自的正定性條件，它們實際上有所不同。例如， 維洛倫茲空間（即，由 與洛倫茲內積組成的內積空間）配備有形式為

(7)

的度量張量和形式為

(8)

的平方範數，適用於所有向量 。特別地，可以有負的無窮小距離和平方範數，以及向量範數始終為零的非零向量。因此，度量（分別是範數）實際上不是度量（分別是範數），但當不會引起混淆時，通常仍被稱為度量（分別是範數）。