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閔可夫斯基度規


閔可夫斯基度規,也稱為閔可夫斯基張量或偽黎曼度規,是一個張量 eta_(alphabeta),其元素由矩陣定義

 (eta)_(alphabeta)=[-1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1],
(1)

其中使用了約定 c=1,且指標 alpha,beta 的取值為 0, 1, 2 和 3,其中 x^0=t 是時間座標,而 (x^1,x^2,x^3) 是空間座標。

歐幾里得度規

 (g)_(alphabeta)=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1],
(2)

給出線元素

ds^2=g_(alphabeta)dx^alphadx^beta
(3)
=(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2,
(4)

而閔可夫斯基度規給出了其相對論推廣,即固有時

dtau^2=eta_(alphabeta)dx^alphadx^beta
(5)
=-(dx^0)^2+(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2.
(6)

閔可夫斯基度規是相對論中的基本概念,並在洛倫茲變換的定義中出現,形式為

 Lambda^alpha_gammaLambda^beta_deltaeta_(alphabeta)=eta_(gammadelta),
(7)

其中 Lambda^alpha_beta 是洛倫茲張量。 它也滿足

 eta^(betadelta)Lambda^gamma_delta=Lambda^(betagamma)
(8)
 eta_(alphagamma)Lambda^(betagamma)=Lambda_alpha^beta
(9)
 Lambda_alpha^beta=eta_(alphagamma)Lambda^(betagamma)=eta_(alphagamma)eta^(betadelta)Lambda^gamma_delta.
(10)

閔可夫斯基空間的度規是對角化的,且有

 eta_(alphaalpha)=1/(eta_(alphaalpha)),
(11)

因此滿足

 eta^(betadelta)=eta_(betadelta).
(12)

度規 g_(munu) 等價於閔可夫斯基度規 eta_(alphabeta) 的充要條件是黎曼張量處處為零(R^lambda_(munukappa)=0)且在某點 g^(munu) 有三個特徵值和一個特徵值


參見

歐幾里得度規, 線元素, 洛倫茲張量, 洛倫茲變換, 閔可夫斯基空間

使用 探索

參考文獻

溫伯格,S. 引力與宇宙學:廣義相對論的原理與應用。 紐約:Wiley,p. 38, 1972。

在 中被引用

閔可夫斯基度規

請引用為

Weisstein, Eric W. “閔可夫斯基度規。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/MinkowskiMetric.html

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