特徵值

特徵值是與線性方程組（即矩陣方程）相關聯的一組特殊的標量，有時也稱為特徵根、特徵值 (Hoffman and Kunze 1971)、本徵值或隱根 (Marcus and Minc 1988, p. 144)。

系統特徵值和特徵向量的確定在物理學和工程學中極其重要，它等同於矩陣對角化，並出現在諸如穩定性分析、旋轉物體的物理學和振動系統的微小振盪等常見應用中，僅舉幾例。每個特徵值都與相應的所謂特徵向量（或一般而言，相應的右特徵向量和相應的左特徵向量；特徵值沒有左右之分）。

一個方陣 分解為特徵值和特徵向量在本工作中稱為特徵分解，並且只要由 的特徵向量組成的矩陣是方陣，這種分解總是可能的，這被稱為特徵分解定理。

Lanczos 演算法是一種用於計算大型對稱稀疏矩陣的特徵值和特徵向量的演算法。

設 是由矩陣 表示的線性變換。如果存在一個向量 使得

(1)

對於某個標量 ，則 稱為 的特徵值，對應的（右）特徵向量為 。

設 為一個 方陣

(2)

具有特徵值 ，則對應的特徵向量滿足

(3)

這等價於齊次系統

(4)

方程 (4) 可以緊湊地寫成

(5)

其中 是單位矩陣。正如在克萊姆法則中所示，一個線性方程組具有非平凡解當且僅當行列式消失，因此方程 (5) 的解由下式給出

(6)

此方程稱為 的特徵方程，左側稱為特徵多項式。

例如，對於一個 矩陣，特徵值為

(7)

它作為特徵方程的解出現

(8)

如果所有 特徵值都不同，那麼將這些值代回會得到 個獨立方程，用於每個對應特徵向量的 個分量，並且系統被稱為非退化的。如果特徵值是 重退化的，那麼系統被稱為退化的，並且特徵向量不是線性獨立的。在這種情況下，特徵向量是正交的這個附加約束，

(9)

其中 是克羅內克 delta，可以應用以產生 個附加約束，從而允許求解特徵向量。

特徵值可以使用 Wolfram 語言 計算，使用Eigenvalues[矩陣]。特徵向量和特徵值可以使用命令一起返回Eigensystem[矩陣]。

假設我們知道以下矩陣的特徵值

(10)

將常數乘以單位矩陣加到 ，

(11)

所以新的特徵值等於舊的加上 。將 乘以常數

(12)

所以新的特徵值是舊的乘以 。

現在考慮 的相似變換。設 為 的行列式，則

			(13)
			(14)
			(15)

所以特徵值與 的相同。