特徵分解

一個方陣 的矩陣分解，分解成所謂的特徵值和特徵向量，是非常重要的。這種分解通常被稱為“矩陣對角化”。然而，這個名稱並非最佳，因為所描述的過程實際上是將矩陣分解為其他三個矩陣的乘積，其中只有一個是對角矩陣，而且因為所有其他標準型別的矩陣分解都在其名稱中使用術語“分解”，例如，Cholesky 分解，Hessenberg 分解等等。因此，在這項工作中，將矩陣分解為由其特徵向量和特徵值組成的矩陣稱為特徵分解。

假設 具有非退化的特徵值 和相應的線性獨立的特徵向量 ，可以表示為

(1)

定義由特徵向量組成的矩陣

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和特徵值

(4)

其中 是一個對角矩陣。那麼

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			(8)
			(9)
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給出 的驚人分解，分解成一個涉及 和 的相似變換，

(11)

只要 是一個方陣，對於一個方陣 來說，這種分解總是可能的，這在本文中被稱為特徵分解定理。

此外，等式 (11) 兩邊平方得到

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透過歸納法，可以得出對於一般的正整數冪，

(15)

的逆矩陣是

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其中對角矩陣 的逆矩陣很容易由下式給出

(18)

因此，方程 (◇) 對於負 以及正數都成立。

涉及矩陣 和 的另一個顯著結果來自矩陣指數的定義

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			(21)
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這是正確的，因為 是一個對角矩陣，並且

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因此，可以使用 找到 。