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矩陣指數

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冪級數 定義了 指數對映 e^x，它也定義了 矩陣 之間的對映。特別地，

exp(A)=e^(A)
(1)
=sum_(n=0)^(infty)(A^n)/(n!)
(2)
=I+A+(AA)/(2!)+(AAA)/(3!)+...,
(3)

對於任何方陣 A 都收斂，其中 I 是單位矩陣。矩陣指數在 Wolfram 語言 中實現為MatrixExp[m].

克羅內克和 滿足良好的性質

exp(A) tensor exp(B)=exp(A direct sum B)
(4)

(Horn and Johnson 1994, 第 208 頁)。

矩陣指數在求解常微分方程組中非常重要（例如，Bellman 1970）。

在某些情況下，表達矩陣指數很簡單。例如，當 A 是對角矩陣時，可以透過簡單地對每個對角元素求指數來執行指數運算。例如，給定一個對角矩陣

A=[a_1 0 ... 0; 0 a_2 ... 0; | | ... |; 0 0 ... a_k],
(5)

矩陣指數由下式給出

exp(A)=[e^(a_1) 0 ... 0; 0 e^(a_2) ... 0; | | ... |; 0 0 ... e^(a_k)].
(6)

由於大多數矩陣是可對角化的，因此在求指數之前對矩陣進行對角化最為容易。

當 A 是冪零矩陣時，指數由矩陣多項式給出，因為 A 的某個冪為零。例如，當

A=[0 x z; 0 0 y; 0 0 0],
(7)

那麼

exp(A)=[1 x z+1/2xy; 0 1 y; 0 0 1]
(8)

且 A^3=0。

對於零矩陣 A=0，

e^(0)=I,
(9)

即，單位矩陣。一般來說，

e^(A)e^(-A)=e^(0)=I,
(10)

因此矩陣的指數總是可逆的，其逆矩陣是矩陣負數的指數。然而，一般來說，公式

e^(A)e^(B)=e^(A+B)
(11)

僅當 A 和 B 可交換時成立，即，

[A,B]=AB-BA=0.
(12)

例如，

exp([0 -x; 0 0]+[0 0; x 0])=[cosx -sinx; sinx cosx],
(13)

而

exp([0 -x; 0 0])exp([0 0; x 0])=[1 -x; 0 1][1 0; x 1] =[1-x^2 -x; x 1].
(14)

即使對於一般的 2×2 實矩陣，矩陣指數也可能非常複雜

exp([a b; c d])=1/Delta[m_(11) m_(12); m_(21) m_(22)]
(15)

其中

m_(11)=e^((a+d)/2)[Deltacosh(1/2Delta)+(a-d)sinh(1/2Delta)]
(16)
m_(12)=2be^((a+d)/2)sinh(1/2Delta)
(17)
m_(21)=2ce^((a+d)/2)sinh(1/2Delta)
(18)
m_(22)=e^((a+d)/2)[Deltacosh(1/2Delta)+(d-a)sinh(1/2Delta)],
(19)

並且

Delta=sqrt((a-d)^2+4bc).
(20)

當 Delta->0 時，這變為

exp([a b; c d])=e^((a+d)/2)[1+1/2(a-d) b; c 1-1/2(a-d)].
(21)

另請參閱

指數函式, 指數對映, 克羅內克和, 矩陣, 矩陣冪

此條目的部分內容由 Todd Rowland 貢獻

使用 探索

參考文獻

Bellman, R. E. 矩陣分析導論，第二版 New York: McGraw-Hill, 1970.Horn, R. A. and Johnson, C. R. 矩陣分析專題。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 208, 1994.Moler, C. and van Loan, C. "Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later." SIAM Rev. 45, 3-49, 2003.

在 中被引用

矩陣指數

請按如下方式引用

Rowland, Todd 和 Weisstein, Eric W. "矩陣指數。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/MatrixExponential.html

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