冪級數

變數 中的冪級數是 和 的形式 的無限 和

其中 是 整數、實數、複數 或任何其他給定型別的量。

Pólya 推測，如果一個 函式 具有帶 整數 係數 和 收斂半徑 1 的冪級數，則要麼該 函式 是 有理函式，要麼 單位圓 是 自然邊界（Pólya 1990，第 43 頁和 46 頁）。G. Polya 在 1916 年提出了這個猜想，Carlson (1921) 證明了它是正確的，這一結果現在被認為是 20 世紀早期 複分析 的經典之作。

對於任何冪級數，以下情況之一為真

1. 該級數僅當 時收斂。

2. 該級數對於所有 都絕對收斂。

3. 該級數對於某個有限開區間 中的所有 都絕對收斂，如果 或 ，則發散。在點 和 處，該級數可能絕對收斂、條件收斂或發散。

要確定收斂區間，請應用 比率檢驗 進行 絕對收斂 並求解 。冪級數可以在收斂區間內進行微分或積分。收斂冪級數可以相乘和相除（如果沒有除以零的情況）。

收斂 如果 並且如果 則 發散。