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級數反演

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級數反演是計算給定原函式的係數時，反函式的係數。對於以級數形式表示的函式且沒有常數項（即，a_0=0）如下：

y=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...,
(1)

反向級數的級數展開由下式給出：

x=A_1y+A_2y^2+A_3y^3+....
(2)

透過將 (2) 代入 (1)，得到以下方程：

y=a_1A_1y+(a_2A_1^2+a_1A_2)y^2+(a_3A_1^3+2a_2A_1A_2+a_1A_3)y^3+(3a_3A_1^2A_2+a_2A_2^2+a_2A_1A_3)+....
(3)

然後，等同係數給出：

A_1=a_1^(-1)
(4)
A_2=-a_1^(-3)a_2
(5)
A_3=a_1^(-5)(2a_2^2-a_1a_3)
(6)
A_4=a_1^(-7)(5a_1a_2a_3-a_1^2a_4-5a_2^3)
(7)
A_5=a_1^(-9)(6a_1^2a_2a_4+3a_1^2a_3^2+14a_2^4-a_1^3a_5-21a_1a_2^2a_3)
(8)
A_6=a_1^(-11)(7a_1^3a_2a_5+7a_1^3a_3a_4+84a_1a_2^3a_3-a_1^4a_6-28a_1^2a_2a_3^2-42a_2^5-28a_1^2a_2^2a_4)
(9)
A_7=a_1^(-13)(8a_1^4a_2a_6+8a_1^4a_3a_5+4a_1^4a_4^2+120a_1^2a_2^3a_4+180a_1^2a_2^2a_3^2+132a_2^6-a_1^5a_7-36a_1^3a_2^2a_5-72a_1^3a_2a_3a_4-12a_1^3a_3^3-330a_1a_2^4a_3)
(10)

(Dwight 1961, Abramowitz and Stegun 1972, p. 16)。

級數反演在 Wolfram 語言中實現為：InverseSeries[s, x]，其中 s 被給出為一個SeriesData物件。例如，要獲得上面顯示的項，

  With[{n = 7},
    CoefficientList[
      InverseSeries[SeriesData[x, 0, Array[a, n],
        1, n + 1, 1]],
    x]
  ]

Morse 和 Feshbach (1953) 給出了第 n 項的顯式公式的推導，

A_n=1/(na_1^n)sum_(s,t,u,...)(-1)^(s+t+u+...)(n(n+1)...(n-1+s+t+u+...))/(s!t!u!...)((a_2)/(a_1))^s((a_3)/(a_1))^t...,
(11)

其中

s+2t+3u+...=n-1.
(12)

另請參閱

冪級數, 級數

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, 1972.Arfken, G. 物理學家的數學方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 316-317, 1985.Beyer, W. H. CRC 標準數學表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 297, 1987.Dwight, H. B. 積分表和其他數學資料，第 4 版。 New York: Macmillan, 1961.Morse, P. M. and Feshbach, H. 理論物理學方法，第一部分。 New York: McGraw-Hill, pp. 411-413, 1953.Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. 整數序列百科全書。 San Diego, CA: Academic Press, p. 22, 1995.

在 中被引用

級數反演

引用為

Weisstein, Eric W. “級數反演。” 來自 —— Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/SeriesReversion.html

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