自然邊界

考慮復變數 中的冪級數

(1)

它在開圓盤 內收斂。由於在 的邊界 上至少存在一個奇點，收斂性被限制在 內。如果 上的奇點密集到解析延拓無法在穿過 的路徑上進行，則稱 形成函式 的自然邊界（或“解析性的自然邊界”）。

舉例來說，考慮函式

(2)

然後 形式上滿足函式方程

(3)

級數 (◇) 顯然在 內收斂。現在考慮 。方程 (◇) 告訴我們 ，這隻有在 時才能滿足。現在考慮 ，方程 (◇) 變為 ，因此 。在方程 (◇) 中用 替換 ，然後得到

(4)

由此得出

(5)

現在考慮 等於單位的四次方根中的任何一個，例如 、，例如 。那麼 。遞迴地應用此過程表明，對於任何滿足 使得 且 , 1, 2, ... 的 都是無窮大。因此，在圓 的任何有限長度的弧段中，都將有無限多個點，對於這些點 是無窮大，因此 構成了 的自然邊界。

具有自然邊界的函式被稱為缺項函式。