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割線

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割線是在複平面上的一條曲線（端點可以是開的、閉的或半開的），解析多值函式在該曲線上是不連續的。為了方便起見，割線通常被取為直線或線段。割線（即使是由曲線組成的割線）也被稱為割線（Arfken 1985, p. 397）、裂縫（Kahan 1987）或分支線。

例如，考慮函式 z^2，它將每個複數 z 對映到一個明確定義的數 z^2。它的反函式 sqrt(z)，另一方面，例如，將值 z=1 對映到 sqrt(1)=+/-1。雖然可以為這些函式選擇唯一的主值（在這種情況下，主平方根是正值），但這些選擇不能在整個複平面上連續進行。相反，必須出現不連續線。處理這些不連續性的最常見方法是採用所謂的割線。一般來說，割線不是唯一的，而是透過約定選擇的，以給出簡單的解析性質（Kahan 1987）。有些函式的割線結構相對簡單，而另一些函式的割線則極其複雜。

表示多值函式的割線的替代方法是使用黎曼曲面。

除了割線之外，還存在稱為分支點的奇點。但是應該注意的是，割線的端點不一定是分支點。

對於單值三角函式、雙曲函式、整數冪和指數函式，不會出現割線。然而，它們的多值反函式確實需要割線。下面的圖表和表格總結了反三角函式、反雙曲函式、非整數冪和對數函式在 Wolfram 語言中採用的割線結構。

BranchCuts1
BranchCuts2
函式名稱函式割線
反餘割csc^(-1)z(-1,1)
反餘弦cos^(-1)z(-infty,-1) 和 (1,infty)
反餘切cot^(-1)z(-i,i)
反雙曲餘割csch^(-1)(-i,i)
反雙曲餘弦cosh^(-1)(-infty,1)
反雙曲餘切coth^(-1)[-1,1]
反雙曲正割sech^(-1)(-infty,0] 和 (1,infty)
反雙曲正弦sinh^(-1)(-iinfty,-i) 和 (i,iinfty)
反雙曲正切tanh^(-1)(-infty,-1] 和 [1,infty)
反secantsec^(-1)z(-1,1)
反正弦sin^(-1)z(-infty,-1) 和 (1,infty)
反正切tan^(-1)z(-iinfty,-i] 和 [i,iinfty)
自然對數lnz(-infty,0]
冪z^n,n not in Z(-infty,0) 當 R[n]<=0 時； (-infty,0] 當 R[n]>0 時
平方根sqrt(z)(-infty,0)

另請參閱

分支, 分支點, 割線, 不連續性, 反雙曲函式, 反三角函式, 多值函式, 主分支, 主值, 黎曼曲面

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 79 and 86, 1972.Ahlfors, L. V. Complex Analysis, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, p. 75, 1979.Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.Bradford, R.; Corless, R. M.; Davenport, J. H.; Jeffrey, D. J.; and Watt, S. M. "Reasoning About the Elementary Functions of Complex Analysis." Ann. Math. Artificial Intell. 36, 303-318, 2002.Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, 1997.Dingle, A. and Fateman, R. J. "Branch Cuts in Computer Algebra." In Symbolic and Algebraic Computation (Ed. J. von zur Gathen and M. Giesbracht). New York: ACM Press, pp. 250-257, 1994.Duffy, D. G. Transform Methods for Solving Partial Differential Equations, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 2004.Felsen, L. B. and Marcuvitz, I. N. Radiation and Scattering of Waves. New York: IEEE Press, 1994.Kahan, W. "Branch Cuts for Complex Elementary Functions, or Much Ado About Nothing's Sign Bit." In The State of the Art in Numerical Analysis: Proceedings of the Joint IMA/SIAM Conference on the State of the Art in Numerical Analysis Held at the UN (Ed. A. Iserles and M. J. D. Powell). New York: Clarendon Press, pp. 165-211, 1987.Korn, G. A. and Korn, T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 1968.Mahan, G. D. Applied Mathematics. New York: Kluwer, 2002.Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 399-401, 1953.Remmert, R. Funktionentheorie 1. Berlin: Springer-Verlag, 1992.Remmert, R. Funktionentheorie 2. Berlin: Springer-Verlag, 1992.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 188-191, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.

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請這樣引用

Weisstein, Eric W. "割線。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BranchCut.html

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