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反餘割

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反餘割是多值函式 csc^(-1)z (Zwillinger 1995, p. 465)，也表示為 arccscz (Abramowitz and Stegun 1972, p. 79; Spanier and Oldham 1987, p. 332; Harris and Stocker 1998, p. 315; Jeffrey 2000, p. 125)，它是 餘割的反函式。變體 Arccscz (例如，Beyer 1987, p. 141; Bronshtein and Semendyayev, 1997, p. 70) 和 Csc^(-1)z 有時用於指代反餘割的顯式主值，儘管這種區分並不總是明確 (例如，Zwillinger 1995, p. 466)。更糟糕的是，符號 arccscz 有時用於主值，而 Arccscz 用於多值函式 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 80)。請注意，在符號 csc^(-1)z （在北美和全球袖珍計算器中常用）中，cscz 是餘割，而上標 -1 表示反函式，不是 乘法逆元。

反餘割的主值實現為ArcCsc[x] 在 Wolfram 語言中。

InverseCosecantBranchCut

反餘割是多值函式，因此在複平面中需要支割線，Wolfram 語言的約定將其放置在 (-1,1)。這遵循 csc^(-1)z 的定義，即

csc^(-1)z=-iln(sqrt(1-1/(z^2))+i/z).
(1)

導數 csc^(-1)z 由下式給出

d/(dz)csc^(-1)z=-1/(z^2sqrt(1-1/(z^2))),
(2)

簡化為

d/(dx)csc^(-1)x=-1/(xsqrt(x^2-1))
(3)

對於 x>0。其不定積分為

intcsc^(-1)zdz=zcsc^(-1)z+ln[z(1+sqrt((z^2-1)/(z^2)))]+C,
(4)

簡化為

intcsc^(-1)xdx=xcsc^(-1)x+ln(x+sqrt(x^2-1))
(5)

對於 x>0。

反餘割在無窮遠處的泰勒級數為

csc^(-1)x=-sum_(n=1)^(infty)(i^(n+1)P_(n-1)(0))/nx^(-n)
(6)
=((1/2)_(n-1))/((n-1)!(2n-1))x^(1-2n)
(7)
=x^(-1)+1/6x^(-3)+3/(40)x^(-5)+5/(112)x^(-7)+...
(8)

(OEIS A055786 和 A002595)，其中 P_n(x) 是勒讓德多項式，(x)_n 是泊赫哈默爾符號。

反餘割滿足

csc^(-1)z=sin^(-1)(1/z)
(9)

對於 z!=0，

csc^(-1)z=1/2pi-sec^(-1)z
(10)
=-1/2pi+sec^(-1)(-z)
(11)

對於所有複數 z，以及

csc^(-1)x={sec^(-1)(x/(sqrt(x^2-1)))-pi for x<-1; sec^(-1)(x/(sqrt(x^2-1))) for x>1
(12)
={-cos^(-1)((sqrt(x^2-1))/x) for x<-1; cos^(-1)((sqrt(x^2-1))/x) for x>1
(13)
={-cot^(-1)(sqrt(x^2-1)) for x<-1; cot^(-1)(sqrt(x^2-1)) for x>1.
(14)

另請參閱

餘割, 反餘弦, 反餘切, 反正割, 反正弦, 反正切, 反三角函式, 正弦

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcCsc/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 79-83, 1972.Beyer, W. H. CRC 標準數學表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 142-143, 1987.Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. 數學手冊，第 3 版。 New York: Springer-Verlag, 1997.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. 積分、級數和乘積表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, 2000.Harris, J. W. and Stocker, H. 數學和計算科學手冊。 New York: Springer-Verlag, p. 315, 1998.Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in 數學公式和積分手冊，第 2 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A002595/M4233 and A055786 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.Zwillinger, D. (Ed.). "Inverse Circular Functions." §6.3 in CRC 標準數學表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 465-467, 1995.

在 中被引用

反餘割

引用為

Weisstein, Eric W. "反餘割。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/InverseCosecant.html

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