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反餘弦

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反餘弦是 多值函式 cos^(-1)z (Zwillinger 1995, p. 465)，也記作 arccosz (Abramowitz and Stegun 1972, p. 79; Harris and Stocker 1998, p. 307; Jeffrey 2000, p. 124)，它是 餘弦 的 反函式。變體 Arccosz (例如，Beyer 1987, p. 141; Bronshtein and Semendyayev, 1997, p. 69) 和 Cos^(-1)z 有時用於指代反餘弦的顯式 主值，儘管這種區分並不總是明確 (例如，Zwillinger 1995, p. 466)。更糟糕的是，符號 arccosz 有時用於主值，而 Arccosz 用於多值函式 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 80)。請注意，符號 cos^(-1)z (在北美和全球袖珍計算器中常用)、cosz 是 餘弦，而上標 -1 表示 反函式，而不是乘法逆元。

反餘弦的 主值 在 Wolfram 語言 中實現為ArcCos[z]，在 Wolfram 語言 中。在 GNU C 庫中，它被實現為acos(double x)。

InverseCosineBranchCut

反餘弦是 多值函式，因此在 複平面 中需要 分支切割，Wolfram 語言 的約定將其放置線上段 (-infty,-1) 和 (1,infty) 上。這源於 cos^(-1)z 的定義為

cos^(-1)z=1/2pi+iln(iz+sqrt(1-z^2)).
(1)

特殊值包括

cos^(-1)(-1)=pi
(2)
cos^(-1)0=1/2pi
(3)
cos^(-1)1=0.
(4)

導數 cos^(-1)z 由下式給出

d/(dz)cos^(-1)z=-1/(sqrt(1-z^2))
(5)

其 不定積分 是

intcos^(-1)zdz=zcos^(-1)z-sqrt(1-z^2)+C.
(6)

反餘弦滿足

cos^(-1)z=pi-cos^(-1)(-z)
(7)

對於所有複數 z，以及

cos^(-1)x={1/2pi+cos^(-1)(sqrt(1-x^2)) for x<=0; 1/2pi-cos^(-1)(sqrt(1-x^2)) for x>=0.
(8)

反餘弦可以用其他反三角函式表示為

cos^(-1)z=1/2pi+sin^(-1)(-z)
(9)
=1/2pi-sin^(-1)z
(10)

對於所有複數 z，

cos^(-1)z=sec^(-1)(1/z)
(11)

對於 z!=0，

cos^(-1)x=1/2pi-tan^(-1)(x/(sqrt(1-x^2)))
(12)

對於 -1<=x<=1，以及

cos^(-1)x=cot^(-1)(x/(sqrt(1-x^2)))
(13)
=csc^(-1)(1/(sqrt(1-x^2)))
(14)
=sin^(-1)(sqrt(1-x^2))
(15)
=tan^(-1)((sqrt(1-x^2))/x)
(16)

對於 x>=0，其中在最後一個等式中，零處的等號被理解為在極限 x->0^+ 下成立。

反餘弦的 麥克勞林級數，對於 -1<=x<=1 是

cos^(-1)x=1/2pi-sum_(n=1)^(infty)((1/2)_(n-1))/((n-1)!(2n-1))x^(2n-1)
(17)
=1/2pi-x-1/6x^3-3/(40)x^5-5/(112)x^7-(35)/(1152)x^9-...
(18)

(OEIS A055786 和 A002595)。

另請參閱

餘弦, 反餘割, 反餘切, 反正弦, 反正割, 反正切, 反三角函式

相關 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcCos/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (編). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 頁. 79-83, 1972.Apostol, T. M. Calculus, 2nd ed., Vol. 1: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra. Waltham, MA: Blaisdell, 頁. 254-255, 1967.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 頁. 142-143 和 219, 1987.Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, 頁. 69-70, 1997.GNU C Library. "Mathematics: Inverse Trigonometric Functions." http://www.gnu.org/manual/glibc-2.2.3/html_chapter/libc_19.html#SEC389.Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, 頁. 307, 1998.Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, 頁. 124-128, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A002595/M4233 和 A055786 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, 頁. 331-341, 1987.Zwillinger, D. (編). "Inverse Circular Functions." §6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, 頁. 465-467, 1995.

在 中被引用

反餘弦

請引用為

Weisstein, Eric W. "反餘弦。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/InverseCosine.html

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