反sec函式 -- 來自 - 數學天地

反sec函式

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反sec函式 (Zwillinger 1995, p. 465)，也表示為 (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 79；Harris 和 Stocker 1998, p. 315；Jeffrey 2000, p. 124)，是正割函式的反函式。變體 (Beyer 1987, p. 141) 和有時用於指示主值，儘管這種區分並非總是明確的 (例如，Zwillinger 1995, p. 466)。更糟糕的是，符號有時用於表示主值，而用於表示多值函式 (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 80)。在符號 (在北美和全球袖珍計算器中常用) 中，是正割函式，而上標表示反函式，而非乘法逆元。

反sec函式的主值在 Wolfram 語言中實現為ArcSec[z] 在 Wolfram 語言中。

反sec函式是一個多值函式，因此在複平面中需要一個分支切割，Wolfram 語言的約定將其放置在。這遵循的定義，即

(1)

的導數是

(2)

化簡為

(3)

對於。不定積分是

(4)

化簡為

(5)

對於。

反sec函式在無窮遠處有泰勒級數展開式

			(6)
			(7)

(OEIS A055786 和 A002595)。

反sec函式滿足

(8)

對於，以及

			(9)
			(10)
			(11)

對於所有複數。它可以透過其他反三角函式表示為

		${pi+csc^(-1)(x/(sqrt(x^2-1))) for x<-1; csc^(-1)(x/(sqrt(x^2-1))) for x>1$	(12)
		${pi-cot^(-1)(1/(sqrt(x^2-1))) for x<-1; cot^(-1)(1/(sqrt(x^2-1))) for x>1$	(13)
		${pi+sin^(-1)((sqrt(x^2-1))/x) for x<-1; sin^(-1)((sqrt(x^2-1))/x) for x>1$	(14)
		${pi-tan^(-1)(sqrt(x^2-1)) for x<-1; tan^(-1)(sqrt(x^2-1)) for x>1.$	(15)

參考文獻