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反sec函式


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反sec函式 sec^(-1)z (Zwillinger 1995, p. 465),也表示為 arcsecz (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 79;Harris 和 Stocker 1998, p. 315;Jeffrey 2000, p. 124),是 正割函式反函式。變體 Arcsecz (Beyer 1987, p. 141) 和 Sec^(-1)z 有時用於指示主值,儘管這種區分並非總是明確的 (例如,Zwillinger 1995, p. 466)。更糟糕的是,符號 arcsecz 有時用於表示主值,而 Arcsecz 用於表示多值函式 (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 80)。在符號 sec^(-1)z (在北美和全球袖珍計算器中常用) 中,secz正割函式,而上標 -1 表示 反函式,而非乘法逆元。

反sec函式的主值在 Wolfram 語言中實現為ArcSec[z] 在 Wolfram 語言中。

InverseSecantBranchCut

反sec函式是一個多值函式,因此在複平面中需要一個分支切割,Wolfram 語言的約定將其放置在 (-1,1)。這遵循 sec^(-1)z 的定義,即

 sec^(-1)z=1/2pi+iln(sqrt(1-1/(z^2))+i/z).
(1)

sec^(-1)z導數

 d/(dz)sec^(-1)z=1/(z^2sqrt(1-1/(z^2))),
(2)

化簡為

 d/(dx)sec^(-1)x=1/(xsqrt(x^2-1))
(3)

對於 x>0不定積分

 intsec^(-1)zdz=zsec^(-1)z-ln[z(1+sqrt((z^2-1)/(z^2)))]+C,
(4)

化簡為

 intsec^(-1)xdx=xsec^(-1)x-ln(x+sqrt(x^2-1))
(5)

對於 x>0

反sec函式在無窮遠處有泰勒級數展開式

sec^(-1)x=1/2pi-sum_(n=0)^(infty)((2n-1)!!)/((2n+1)(2n)!!)x^(-2n-1)
(6)
=1/2pi-x^(-1)-1/6x^(-3)-3/(40)x^(-5)-5/(112)x^(-7)-...
(7)

(OEIS A055786A002595)。

反sec函式滿足

 sec^(-1)z=cos^(-1)(1/z)
(8)

對於 z!=0,以及

sec^(-1)z=pi-sec^(-1)(-z)
(9)
=1/2pi-csc^(-1)z
(10)
=1/2pi+csc^(-1)(-z)
(11)

對於所有複數 z。它可以透過其他反三角函式表示為

sec^(-1)x={pi+csc^(-1)(x/(sqrt(x^2-1))) for x<-1; csc^(-1)(x/(sqrt(x^2-1))) for x>1
(12)
={pi-cot^(-1)(1/(sqrt(x^2-1))) for x<-1; cot^(-1)(1/(sqrt(x^2-1))) for x>1
(13)
={pi+sin^(-1)((sqrt(x^2-1))/x) for x<-1; sin^(-1)((sqrt(x^2-1))/x) for x>1
(14)
={pi-tan^(-1)(sqrt(x^2-1)) for x<-1; tan^(-1)(sqrt(x^2-1)) for x>1.
(15)

另請參閱

反餘割函式, 反餘弦函式, 反餘切函式, 反正弦函式, 反正切函式, 反三角函式, 正割函式

相關的 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcSec/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A.(編). "Inverse Circular Functions." §4.4 in 數學函式手冊,包含公式、圖表和數學表格,第 9 版。 New York: Dover, pp. 79-83, 1972.Beyer, W. H. CRC 標準數學表格,第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141-143, 1987.Bronshtein, I. N. 和 Semendyayev, K. A. 數學手冊,第 3 版。 New York: Springer-Verlag, 1997.Harris, J. W. 和 Stocker, H. 數學和計算科學手冊。 New York: Springer-Verlag, p. 315, 1998.Jeffrey, A. 數學公式和積分手冊,第 2 版。 Orlando, FL: Academic Press, 2000.Sloane, N. J. A. 序列 A002595/M4233 和 A055786 in "整數序列線上百科全書"。Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in 函式圖譜。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.Zwillinger, D.(編). CRC 標準數學表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.

在 中被引用

反sec函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "反sec函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/InverseSecant.html

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