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反三角函式

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反三角函式是反函式，對應於三角函式，記為 cos^(-1)z, cot^(-1)z, csc^(-1)z, sec^(-1)z, sin^(-1)z, 和 tan^(-1)z。

有時會使用其他表示法，如下表所示。

f(z)其他表示法
cos^(-1)zarccosz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 207)
cot^(-1)zarccotz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333), arcctgz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 208; Jeffrey 2000, p. 127)
csc^(-1)zarccscz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333), arccosecz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 207)
sec^(-1)zarcsecz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 209)
sin^(-1)zarcsinz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 207)
tan^(-1)zarctanz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333), arctgz (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333; Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 208; Jeffrey 2000, p. 127)

反三角函式是多值函式。例如，存在 w 的多個值，使得 z=sinw，因此，除非定義了主值，否則 sin^(-1)z 不是唯一確定的。這樣的主值有時用大寫字母表示，因此，例如，反正弦 sin^(-1)z 的主值可以用 Sin^(-1)z 或 Arcsinz 表示 (Beyer 1987, p. 141)。另一方面，符號 sin^(-1)z (等等) 也常用於表示主值或任何正弦為 z 的量 (Zwillinger 1995, p. 466)。更糟糕的是，主值和多值符號有時會顛倒，例如，arcsinz 表示主值，而 Arcsinz 表示多值函式 (Spanier 和 Oldham 1987, p. 333)。

由於反三角函式是多值函式，它們在複平面中需要分支切割。可能存在不同的分支切割約定，但這項工作中採用的約定遵循 Wolfram 語言 使用的約定，總結如下。

函式名函式Wolfram 語言分支切割
反餘割csc^(-1)zArcCsc[z](-1,1)
反餘弦cos^(-1)zArcCos[z](-infty,-1) 和 (1,infty)
反餘切cot^(-1)zArcCot[z](-i,i)
反正割sec^(-1)zArcSec[z](-1,1)
反正弦sin^(-1)zArcSin[z](-infty,-1) 和 (1,infty)
反正切tan^(-1)zArcTan[z](-iinfty,-i] 和 [i,iinfty)
InverseTrigonometricFunctions

對於實引數，這些函式的值域可能有不同的約定。按照 Wolfram 語言 使用的約定，這項工作中定義的反三角函式在實數線 R 上的定義域具有以下值域，如上圖所示。

函式名函式定義域值域
反餘割csc^(-1)x(-infty,infty)[-1/2pi,0) 或 (0,1/2pi]
反餘弦cos^(-1)x[-1,1][0,pi]
反餘切cot^(-1)x(-infty,infty)(-1/2pi,0) 或 (0,1/2pi]
反正割sec^(-1)x(-infty,infty)[0,1/2pi) 或 (1/2pi,pi]
反正弦sin^(-1)x[-1,1][-1/2pi,1/2pi]
反正切tan^(-1)x(-infty,infty)(-1/2pi,1/2pi)

反向-正向恆等式為

tan^(-1)(cotx)=1/2pi-x forx in [0,pi]
(1)
sin^(-1)(cosx)=1/2pi-x forx in [0,pi]
(2)
sec^(-1)(cscx)=1/2pi-x forx in [0,1/2pi].
(3)

正向-反向恆等式為

cos(sin^(-1)x)=sqrt(1-x^2)
(4)
cos(tan^(-1)x)=1/(sqrt(1+x^2))
(5)
sin(cos^(-1)x)=sqrt(1-x^2)
(6)
sin(tan^(-1)x)=x/(sqrt(1+x^2))
(7)
tan(cos^(-1)x)=(sqrt(1-x^2))/x
(8)
tan(sin^(-1)x)=x/(sqrt(1-x^2)).
(9)

反向和恆等式包括

sin^(-1)x+cos^(-1)x=1/2pi
(10)
tan^(-1)x+cot^(-1)x=1/2pi
(11)
sec^(-1)x+csc^(-1)x=1/2pi,
(12)

其中方程 (11) 僅對 x>=0 有效。

以自然對數表示的復反恆等式包括

sin^(-1)z=-iln(iz+sqrt(1-z^2))
(13)
cos^(-1)z=1/2pi+iln(iz+sqrt(1-z^2))
(14)
tan^(-1)z=1/2i[ln(1-iz)-ln(1+iz)].
(15)

參見

反餘割, 反餘弦, 反餘切, 反函式, 反雙曲函式, 反正割, 反正弦, 反正切, 三角函式

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A.(編). "反圓函式." §4.4 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 紐約: Dover, pp. 79-83, 1972.Apostol, T. M. "三角函式的反函式." §6.21 微積分，第二版，第一卷：單變數微積分，線性代數導論。 Waltham, MA: Blaisdell, pp. 253-256, 1967.Beyer, W. H.(編). CRC 標準數學表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1987.Harris, J. W. 和 Stocker, H. "反三角函式." 數學和計算科學手冊。 紐約: Springer-Verlag, pp. 306-318, 1998.Jeffrey, A. "反三角函式和雙曲函式." §2.7 數學公式和積分手冊，第二版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "反三角函式." Ch. 35 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.Trott, M. "反三角函式和雙曲函式." §2.2.5 Mathematica 程式設計指南。 紐約: Springer-Verlag, pp. 180-191, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Zwillinger, D.(編). CRC 標準數學表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.

在 上被引用

反三角函式

以此引用

Weisstein, Eric W. "反三角函式." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/InverseTrigonometricFunctions.html

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