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反雙曲函式

反雙曲函式，有時也稱為面積雙曲函式（Spanier 和 Oldham 1987，第 263 頁），是多值函式，它們是反函式，指雙曲函式的反函式。 它們用符號 反餘弦函式z、 反餘切函式z、 反餘割函式z、 反正割函式z、 反正弦函式z 和 反正切函式z 表示。 以大寫字母開頭的這些符號的變體通常用於表示它們的主值（例如，Harris 和 Stocker 1998，第 263 頁）。

這些函式是多值的，因此在複平面中需要分支切割。 可能存在不同的分支切割約定，但這項工作中採用的約定遵循 Wolfram 語言 使用的約定，如下總結。

函式名函式Wolfram 語言分支切割
反雙曲餘割csch^(-1)zArcCsch[z](-i,i)
反雙曲餘弦cosh^(-1)zArcCosh[z](-infty,1)
反雙曲餘切coth^(-1)zArcCoth[z][-1,1]
反雙曲正割sech^(-1)zArcSech[z](-infty,0] 和 (1,infty)
反雙曲正弦sinh^(-1)zArcSinh[z](-iinfty,-i) 和 (i,iinfty)
反雙曲正切tanh^(-1)zArcTanh[z](-infty,-1] 和 [1,infty)
InverseHyperbolicFunctions

如本文所定義的反雙曲函式，在實數線 R 上的定義域具有以下值域，同樣遵循 Wolfram 語言 的約定。

函式名函式定義域值域
反雙曲餘割csch^(-1)x(-infty,infty)(-infty,infty)
反雙曲餘弦cosh^(-1)x[1,infty)[0,infty)
反雙曲餘切coth^(-1)x(-infty,-1) 或 (1,infty)(-infty,infty)
反雙曲正割sech^(-1)x(0,1][0,infty)
反雙曲正弦sinh^(-1)x(-infty,infty)(-infty,infty)
反雙曲正切tanh^(-1)x(-1,1)(-infty,infty)

它們在複平面中定義為

sinh^(-1)z=ln(z+sqrt(z^2+1))
(1)
cosh^(-1)z=ln(z+sqrt(z-1)sqrt(z+1))
(2)
tanh^(-1)z=1/2[ln(1+z)-ln(1-z)]
(3)
csch^(-1)z=ln(sqrt(1+1/(z^2))+1/z)
(4)
sech^(-1)z=ln(sqrt(1/z-1)sqrt(1+1/z)+1/z)
(5)
coth^(-1)z=1/2[ln(1+1/z)-ln(1-1/z)].
(6)

另請參閱

雙曲函式, 反函式, 反雙曲餘割, 反雙曲餘弦, 反雙曲餘切, 反雙曲正割, 反雙曲正弦, 反雙曲正切, 反三角函式

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). "Inverse Hyperbolic Functions." §4.6 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 86-89, 1972.Beyer, W. H. "Inverse Hyperbolic Functions." CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 181-186, 1987.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.Harris, J. W. 和 Stocker, H. "Area Hyperbolic Functions." Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, pp. 263-273, 1998.Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Inverse Hyperbolic Functions." Ch. 31 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 285-293, 1987.Trott, M. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.2.5 in The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, pp. 180-191, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Zwillinger, D. (編). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.

在 中被引用

反雙曲函式

請這樣引用

韋斯坦, 埃裡克·W. "Inverse Hyperbolic Functions." 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/InverseHyperbolicFunctions.html

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