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反雙曲正弦

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反雙曲正弦 sinh^(-1)z (Beyer 1987, p. 181; Zwillinger 1995, p. 481)，有時稱為面積雙曲正弦（Harris 和 Stocker 1998, p. 264），是 多值函式，它是 反函式 雙曲正弦。

變體 Arcsinhz 或 Arsinhz (Harris 和 Stocker 1998, p. 263) 有時用於指代反雙曲正弦的顯式 主值，儘管這種區分並不總是明確的。更糟糕的是，符號 arcsinhz 有時用於主值，而 Arcsinhz 用於多值函式 (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 87)。符號 arcsinhz (Jeffrey 2000, p. 124) 和 Arshz (Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. xxx) 有時也使用。請注意，在符號 sinh^(-1)z 中，sinhz 是 雙曲正弦，而上標 -1 表示 反函式，不是 乘法逆元。

它的 主值 sinh^(-1)z 在 Wolfram 語言 中實現為ArcSinh[z]，在 GNU C 庫中實現為asinh(double x)。

InverseHyperbolicSineBranchCut

反雙曲正弦是 多值函式，因此在 複平面 中需要 分支切割線，Wolfram 語言 的約定將其放置線上段 (-iinfty,-i) 和 (i,iinfty)。這源於反雙曲正弦的定義為

sinh^(-1)z=ln(z+sqrt(1+z^2)).
(1)

反雙曲正弦可以用 反函式 表示為

sinh^(-1)z=1/isin^(-1)(iz)
(2)

(Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. xxx)。

反雙曲正弦的 導數 為

d/(dz)sinh^(-1)z=1/(sqrt(1+z^2)),
(3)

且 不定積分 為

intsinh^(-1)zdz=zsinh^(-1)z-sqrt(1+z^2)+C.
(4)

它有麥克勞林級數

sinh^(-1)x=sum_(k=1)^(infty)(P_(k-1)(0))/kx^k
(5)
=sum_(n=0)^(infty)((-1)^n(2n-1)!!)/((2n+1)(2n)!!)x^(2n+1)
(6)
=x-1/6x^3+3/(40)x^5-5/(112)x^7+(35)/(1152)x^9+...
(7)

(OEIS A055786 和 A002595)，其中 P_n(x) 是 勒讓德多項式。它在無窮遠處有泰勒級數展開式

sinh^(-1)x=-ln(x^(-1))+ln2+sum_(n=1)^(infty)((-1)^(n-1)(2n-1)!!)/(2n(2n)!!)x^(-2n)
(8)
=-ln(x^(-1))+ln2+1/4x^(-2)-3/(32)x^(-4)+5/(96)x^(-6)-...
(9)

(OEIS A052468 和 A052469)。

另請參閱

雙曲正弦, 反雙曲函式

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcSinh/

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參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 79-83, 1972.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 142-143, 1987.GNU C Library. "Mathematics: Inverse Trigonometric Functions." http://www.gnu.org/manual/glibc-2.2.3/html_chapter/libc_19.html#SEC391.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. xxx, 2000.Harris, J. W. 和 Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, 1998.Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A002595/M4233, A052468, A052469, 和 A055786 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.Zwillinger, D. (Ed.). "Inverse Hyperbolic Functions." §6.8 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 481-483, 1995.

在 中被引用

反雙曲正弦

引用為

Weisstein, Eric W. "反雙曲正弦。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/InverseHyperbolicSine.html

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