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反三角正弦函式

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反三角正弦函式是多值函式 sin^(-1)z (Zwillinger 1995, p. 465)，也記作 arcsinz (Abramowitz and Stegun 1972, p. 79; Harris and Stocker 1998, p. 307; Jeffrey 2000, p. 124)，它是正弦函式的反函式。變體 Arcsinz (例如，Bronshtein and Semendyayev, 1997, p. 69) 和 Sin^(-1)z 有時用於指代反三角正弦函式的顯式主值，儘管這種區分並不總是被強調 (例如，Zwillinger 1995, p. 466)。更糟糕的是，符號 arcsinz 有時用於主值，而 Arcsinz 用於多值函式 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 80)。請注意，在符號 sin^(-1)z (在北美和全球袖珍計算器中常用) 中，sinz 是正弦函式，而上標 -1 表示反函式，不是乘法逆元。

反三角正弦函式的主值在ArcSin[z] 中以 Wolfram 語言 實現。在 GNU C 庫中，它被實現為asin(double x)。

InverseSineBranchCut

反三角正弦函式是一個多值函式，因此需要在複平面中進行分支切割，Wolfram 語言的約定將其置於 (-infty,-1) 和 (1,infty)。這源於 sin^(-1)z 的定義，即

sin^(-1)z=-iln(iz+sqrt(1-z^2)).
(1)

特殊值包括

sin^(-1)(-1)=-1/2pi
(2)
sin^(-1)0=0
(3)
sin^(-1)1=1/2pi.
(4)

sin^(-1)z 的導數是

d/(dz)sin^(-1)z=1/(sqrt(1-z^2))
(5)

其不定積分是

intsin^(-1)zdz=sqrt(1-z^2)+zsin^(-1)z+C.
(6)

反三角正弦函式滿足

sin^(-1)z=csc^(-1)(1/z)
(7)

對於 z!=0，

sin^(-1)z=-sin^(-1)(-z)
(8)
=cos^(-1)(-z)-1/2pi
(9)
=1/2pi-cos^(-1)z
(10)

對於所有複數 z，

sin^(-1)x={-1/2pi+sin^(-1)(sqrt(1-x^2)) for x<0; 1/2pi-sin^(-1)(sqrt(1-x^2)) for x>0
(11)
={-1/2pi-cot^(-1)(x/(sqrt(1-x^2))) for x<0; 1/2pi-cot^(-1)(x/(sqrt(1-x^2))) for x>0
(12)
={-cos^(-1)(sqrt(1-x^2)) for -1<x<0; cos^(-1)(sqrt(1-x^2)) for 0<x<1
(13)
={-sec^(-1)(1/(sqrt(1-x^2))) for -1<x<0; sec^(-1)(1/(sqrt(1-x^2))) for 0<x<1,
(14)

以及

sin^(-1)x=tan^(-1)(x/(sqrt(1-x^2)))
(15)
=cot^(-1)((sqrt(1-x^2))/x)
(16)

對於 -1<x<1，其中分母為 0 的點的等式被理解為在極限 x->+/-1 或 x->0 的意義下成立。

反三角正弦函式的 麥克勞林級數，對於 -1<=x<=1，由下式給出

sin^(-1)x=sum_(n=0)^(infty)((1/2)_n)/((2n+1)n!)x^(2n+1)
(17)
=x+1/6x^3+3/(40)x^5+5/(112)x^7+(35)/(1152)x^9+...
(18)

(OEIS A055786 和 A002595)，其中 (x)_n 是一個 波赫哈默爾符號。

反三角正弦函式可以由以下求和式給出

(sin^(-1)x)^2=1/2sum_(n=1)^infty((2x)^(2n))/(n^2(2n; n)),
(19)

其中 (2n; n) 是一個二項式係數 (Borwein et al. 2004, p. 51; Borwein and Chamberland 2005; Bailey et al. 2007, pp. 15-16)。類似地，

[sin^(-1)(1/2x)]^4=3/2sum_(k=1)^(infty)[sum_(m=1)^(k-1)1/(m^2)](x^(2k))/(k^2(2k; k))
(20)
[sin^(-1)(1/2x)]^6=(45)/4sum_(k=1)^(infty)[sum_(m=1)^(k-1)1/(m^2)sum_(n=1)^(m-1)1/(n^2)](x^(2k))/(k^2(2k; k))
(21)
[sin^(-1)(1/2x)]^8=(315)/2sum_(k=1)^(infty)[sum_(m=1)^(k-1)1/(m^2)sum_(n=1)^(m-1)1/(n^2)sum_(p=1)^(n-1)1/(p^2)](x^(2k))/(k^2(2k; k))
(22)

(Bailey et al. 2007, pp. 16 和 282; Borwein and Chamberland 2007)。拉馬努金給出了 (sin^(-1)x)^n 對於 n=1, 2, 3, 和 4 的情況 (Berndt 1985, pp. 262-263)，一般情況由 Bailey et al. (2006, pp. 15-16 和 282) 以及 Borwein and Chamberland (2007) 以多重求和的形式給出。

反三角正弦函式具有連分數

sin^(-1)z=(zsqrt(1-z^2))/(1-(1·2z^2)/(3-(1·2z^2)/(5-(3·4z^2)/(7-(3·4z^2)/(9-(5·6z^2)/(11-...))))))
(23)

(Wall 1948, p. 345)。

另請參閱

反餘割函式, 反餘弦函式, 反餘切函式, 反正割函式, 反正切函式, 反三角函式, 正弦函式

相關 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcSin/

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A.(Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 79-83, 1972.Apostol, T. M. Calculus, 2nd ed., Vol. 1: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra. Waltham, MA: Blaisdell, pp. 253-254, 1967.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, 2007.Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks: Part I. New York: Springer-Verlag, 1985.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 142-143 and 220, 1987.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Borwein, J. M. and Chamberland, M. "Integer Powers of Arcsin." Int. J. Math. Math. Sci., Art. 19381, 1-10, 2007.Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 69-70, 1997.GNU C Library. "Mathematics: Inverse Trigonometric Functions." http://www.gnu.org/manual/glibc-2.2.3/html_chapter/libc_19.html#SEC389.Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 307, 1998.Sloane, N. J. A. Sequences A002595/M4233 and A055786 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. and Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.Wall, H. S. Analytic Theory of Continued Fractions. New York: Chelsea, 1948.Zwillinger, D.(Ed.). "Inverse Circular Functions." §6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 465-467, 1995.

在 上被引用

反三角正弦函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Inverse Sine." 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/InverseSine.html

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